怎样利用现有高中知识解4X^3-3X+1=0这个一元3次方程？

4X³-3X+1=0
取x=-1时，两边为0 原方程x+1是他的一个分解式

使用4X^3-3X+1除以x+1，得到4X²-4X+1
你能得到4X^3-3X+1=0的解为x+1=0，4X²-4X+1=0
解得x1=-1，x2=x3=1/2

一元n次方程，如果是习题，一般用分解因式法解之。如果是一般问题，只好求近似解。
5次及以上的方程根本没有解的公式，3次、4次即便有公式，也不胜其烦。
但有几点可简化求解：
例如方程 ax^n+bx^(n-1)+cx^(n-2)+......+ux+v=0
（1） 当系数之和等于0时，方程一定有根 x=1；
（2） 当偶次幂项系数之和等于奇次幂项系数之和时，方程一定有根 x=-1；

二次方程求根公式：
x1,2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)
三，四次方程有求根公式，具体很复杂，你可以去百科上搜出来，但是不实用。一般来说，对于整系数方程，先试出一个根，再用多项式除法把其它根算出来。
五次以上方程有没有求根公式是困扰数学家多年的大课题，它最终是少年天才Galois证明的，五次以上方程没有固定的求根公式。所以一般解高次方程，特别是做题时遇到的因式分解等题目，都是用多项式除法来解。

先猜根，用0，±1，±2这种，此题-1是根。

然后用多项式除法，用（4X^3-3X+1）/（x+1），得到（4x^2-4x+1）,再用十字交叉法解一元二次方程，得到另两个根是1/2和1/2。
综上所述，这个3次方程的3个根是：-1，1/2，1/2。

解缺项三次方程的法则
用x系数的1/3加上方程常数的一半的平方：求这整个算式的平方根。复制（重复）这一算式，并在第一个算式中加上方程常数的一半，从第二个算式中减去同一个数的一半......然后，用第一个算式的平方根减去第二个算式的平方根，其值即为x的值

先试试找个根，如x=-1就是它的根
4X^3-3X+1=（x+1）（4x^2-4x+1）=(x+1)(2x-1)^2=0
x1=-1，x2=x3=1/2

4x³-3x+1=0
x³+1+3X^3-3x
(x+1)(x²-x+1)+3x(x²-1)=0
(x+1)(x²-x+1)+3x(x+1)(x-1)=0
(x+1)(x²-x+1+3x²-3x)=0
(x+1)(4x²-4x+1)=0
(x+1)(2x-1)²=0
x=-1 或 x=1/2