58问答库 > 设a.b.c是不全相等的正数 1.[a+b][b+c][c+a]>8abc 2.a+b+c>根号ab+根号bc+根号ca 求过程答案

设a.b.c是不全相等的正数 1.[a+b][b+c][c+a]>8abc 2.a+b+c>根号ab+根号bc+根号ca 求过程答案

2024-11-29 07:46:01

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回答（1）：

设A.B.C是不全相等的正数,求证
1)(A+B)(B+C)(C+A)大于8ABC
∵A、B、C均大于零，
∴A+B≥2√(AB)
B+C≥2√(BC)
C+A≥2√(AC)
∴(A+B)(B+C)(C+A)≥(2√AB)(2√BC)(2√AC)
=8√(ABC)�0�5
=8ABC
上述等号只有在A=B=C时候取得，但是题目已知 A.B.C是不全相等
所以：
(A+B)(B+C)(C+A)≥8ABC

2)A+B+C>√AB+√BC+√CA
上述不等式两边同乘以2，得到：
2A+2B+2C>2√AB+2√BC+2√CA
<===> (A+B)+(B+C)+(A+C)>2√AB+2√BC+2√CA
<===> [(A+B)-2√AB]+[(B+C)-2√BC]+[(A+C)-2√CA]>0
<===> (√A-√B)^+(√B-√C)^+(√C-√A)^>0
左式是三个完全平方数的和，那么它们各自均≥0.又因为A.B.C是不全相等的正数，所以，它们不能同时为零。
故，原命题成立。

回答（2）：

数学这玩儿不太适合我

回答（3）：

那样做啊