r＝1－cosθ与r＝cosθ所围成图形的公共部分面积 详细过程

r＝1－cosθ是为心形线水平方向图形r=a(1-cosθ)中常数a=1的心形线图形；而r＝cosθ可以化简得r^2＝rcosθ，因为x＝rcosθ，x^2+y^2=r^2(圆的方程)，所以化简得到x^2+y^2=x曲线。

进而可以知道曲线x^2+y^2=x为(x-1/2)^2+y^2=1/4圆的方程，圆心为（1/2,0），圆半径为1/2。

因为r＝1－cosθ，r＝cosθ，化简得到cosθ=1－cosθ，即cosθ=1/2，所以两曲线的交点夹角为60.

所以得到两曲线围成的区域为

r＝1－cosθ与r＝cosθ所围成图形的公共部分面积可以用二重积分的极坐标计算方法来计算面积，可以知道区域关于x轴对称，所以只需计算一个公共面积即可。

令公共面积在x上半轴的面积为S1，S2（以θ=60分界）

其中S1=∫dθ∫dr，积分区域为0<θ<π/3，0

即S1=∫dθ∫dr=∫cosθdθ，积分区域为0<θ<π/3；计算得到S1=∫dθ∫dr=∫cosθdθ=√3/2 。

同时S2=∫dθ∫dr，积分区域为π/3<θ<π/2，0

即S2=∫dθ∫dr=∫cosθdθ，积分区域为π/3<θ<π/2；计算得到S1=∫dθ∫dr=∫cosθdθ=1-(√3/2) 

即得到公共面积在x上半轴的面积S=S1+S2=√3/2+1-(√3/2)=1

所以公共部分总面积 S总=2*1=2 。

扩展资料：

1、心形线极坐标方程

水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)

2、心形线直角坐标方程

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

3、在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ），即二重积分在极坐标下的表达式：

参考资料来源：百度百科-心形线

参考资料来源：百度百科-二重积分

所围成图形近似

面积=1.072