多元函数二阶偏导数存在为何一阶不一定连续

一个函数连续，要求沿着任意方向趋近于一个点的极限存在且相等，但是二阶偏导数存在，只能说明一阶偏导数沿着坐标轴的极限存在。所以并不满足一阶偏导数存在的条件。

对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。

简单地说，如果一个函数的图像你可以一笔画出来，整个过程不用抬笔，那么这个函数就是连续的。

扩展资料

一、不连续”是不能同时满足连续的三个条件的点：

1、函数在该点处没有定义；

2、若函数在该点有定义，但函数在该点附近的极限不存在；

3、虽然函数在该点处有定义，极限也存在，但是二者不相等。

二、连续函数的定理：

定理一 在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。

定理二 连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。

定理三 连续函数的复合函数是连续的。

这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。

一个函数连续，要求沿着任意方向趋近于一个点的极限存在且相等，但是二阶偏导数存在，只能说明一阶偏导数沿着坐标轴的极限存在。所以并不满足一阶偏导数存在的条件

（一阶）偏导存在并不能说明函数连续。同样的道理，把一阶偏导数看成一个新的函数，二阶偏导数存在并不能说明一阶偏导数连续。
以上