如何证明指数函数的单调性

对a^x，a > 0，讨论它的单调性就不能不先说明它的确切定义。
指数函数是定义在整个实数区间上的。我们先说在整数上的定义：
a^n = a * a * ... * a （n > 0，下同）（n个a相乘）
a^0 = 1
a^(-n) = 1 / a^n
再说有理数集上的定义：
a^(1 / n) = a的n次算术根，
a^(p / q) = (a^p)的q次算术根，其中p / q是既约分数.
这样一来，有理数集上的指数函数就定义好了。并且用初等的方法不难证明在有理数集上a^(p / q)的单调性。事实上，对a^(p1 / q1)和a^(p2 / q2)，可以把分数p1 / q1和p2 / q2通分，这样分母相同，设分别是p1' / q， p2' / q。现在就是在比以a^(1 / q)为底，以p1'和p2'为指数的两个数大小。显然当a > 1时，a^(1 / q) > 1，从而可知函数是严格单调增的；反之，a < 1时，也能证出函数是严格单调减的

浅说指数函数单调性证明的理论依据巴中市第五中学 王晓军http://www.bzswz.cn/view.asp?ClassID=24&id=317