（1）∵OB=6，OA=4，且C在第一象限，
∴C的坐标为（6，4）；
故答案为：（6，4）；
（2）在Rt△OBF中，tan∠BOF==，OB=6，
∴BF=，
∴F（6，），
将F点坐标代入反比例解析式得：k=6×=16，即反比例解析式为y=，
∴将y=4代入反比例解析式得：x=4，即E（4，4），
在Rt△AOE中，OA=AE=4，
∴∠AOE=45°；
（3）存在，理由为：
设BF=a，由OB=6，得到F（6，a），代入反比例解析式得：k=6a；
由OA=4，得到4AE=k=6a，即AE=1.5a，
∴EC=AC-AE=6-1.5a，CF=BC-BF=4-a，
由∠EOF为锐角，不可能为直角，
故分两种情况讨论：
①当∠OEF=90°时，可得∠AEO+∠FEC=90°，
又∠AEO+∠AOE=90°，且∠OAE=∠ECF=90°，
∴△AOE∽△CEF，
∴=，即=，
整理得9a2-52a+64=0，
解得：a1=，a2=4，
∴F（6，）；
②当∠OFE=90°时，同理△CEF∽△BFO，
∴=，即=，
整理得a2-13a+36=0，
解得a1=9，a2=4均不合题意，
∴∠OFE≠90°，
综上所述，当F（6，）时，△OEF为为直角三角形．
