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对数运算法则的证明

新教材上对数的运算那一节有三个性质怎么证明？

2024-11-14 21:30:13

推荐回答（4个）

回答（1）：

运算法则公式如下：

1、lnx+ lny=lnxy

2、lnx-lny=ln(x/y)

3、lnxⁿ=nlnx

4、ln(ⁿ√x)=lnx/n

5、lne=1

6、ln1=0

扩展资料：

由指数和对数的互相转化关系可得出:

1、两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即

2、两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差，即

3、一个正数幂的对数，等于幂的底数的对数乘以幂的指数，即

4、若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则:一个正数的算术根的对数，等于被开方数的对数除以根指数，即

回答（2）：

　高一对数函数运算法则
　　1、a^(log(a)(b))=b (对数恒等式）
　　2、log(a)(a^b)=b
　　3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
　　4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);
　　5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)
　　证明:
　　1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b.
　　2、因为a^b=a^b
　　令t=a^b
　　所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)
　　3、MN=M×N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
　　两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定
　　又因为指数函数是单调函数,所以
　　log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
　　4、与（3）类似处理
　　MN=M÷N
　　由基本性质1(换掉M和N)
　　a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
　　又因为指数函数是单调函数,所以
　　log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)
　　5、与（3）类似处理
　　M^n=M^n
　　由基本性质1(换掉M)
　　a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
　　由指数的性质
　　a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
　　又因为指数函数是单调函数,所以
　　log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
　　基本性质4推广
　　log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
　　推导如下：
　　由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]
　　log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　换底公式的推导：
　　设e^x=b^m,e^y=a^n
　　则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y
　　x=ln(b^m),y=ln(a^n)
　　得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)
　　由基本性质4可得
　　log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}
　　再由换底公式
　　log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
　　例如：log(8)27=log(2³)3³=log(2)3
　　再如：log(√2)√5=log(2)5.

回答（3）：

对数运算法则推导

回答（4）：

loga（N）n=n·logaN．

（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证

Nn=an·logaN=（a·logaN）n，

只需证
N=alogaN．

由对数恒等式，这是显然成立的．

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