巧解分式方程。

2025-04-06 23:05:32

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回答（1）：

1 给定条件下高次代数式的求值问题，是代数式求值问题中比较常见的类型。由于这类题的字母次数较高，一旦方法不得当，不但解题过程麻烦，甚至有时求不出数来，对于这类题降次是比较常用的一种解决方法。现举例归纳如下：一、直接变形，代入降次通过对已知条件和代数式的适当变形，便可达到降次的效果，从而使问题得到解决。例1：已知x2+4x-1=0,求2x4-36x2+1的值。解：∵x2+4x-1=0，∴x2=1-4x, ∴2x4-36x2+1=2(x2) 2 -36x2+1=2(1-4x) 2-36x2+1=2-16x+32x2 -36x2+1=-4x2-16x+3=-4(x2+4x)+3=-4+3=-1二、以退为进，巧妙降次以退为进，这是一个反常规的思维。为了降次，而先升高其中字母的次数，再通过适当的变形实现降次求值的目的。现把这一方法在实际中的应用举例说明：（一）、已知条件是整式的值例2：已知x2+x-1=0,求x4+2x3+3x2+2x+1之值。解：∵x2+x-1=0，∴x2=1-x ;x3=x·x2=x(1-x)=x-x2=x-(1-x)=2x-1;x4=x·x3=x(2x-1)=2x2-x=2(1-x)-x=2-3x .∴原式=(2-3x)+2(2x-1)+3(1-x)+2x+1=4 .（二）、已知条件是分式的值例3：已知 +x =3,求x4+3x3-16x2+3x-17的值。∵ +x =3，∴x2-3x+1=0, ∴x2=3x -1;x3=x·x2=x(3x-1)= 3x2-x= 3(3x-1)-x=8x-3 ;x4=x·x3=x(8x-3)=8x2-3x=8(3x-1)-3x=21x-8 ;∴原式=(21x-8)+3(8x-3)-16(3x-1)+3x-17=-18 .（三）、已知条件含根号例4：已知x= ,求(4x3-2004x-2001)2001的值。∵x= ∴2x=1+ , =2x-1 ∴4x2-4x-2000=0 ,4x2=4x+2000 ,2000x =4x3-4x2, 4x=4x2-2000 ,∴原式=(4x3-2000x-4x-2001)2001=[4x3-(4x3-4x2)-( 4x2-2000)-2001]2001=-1 三、借助方程根降次一元二次方程的知识是初中阶段最重要、最有用的知识之一，它在降次求值中的作用也不可忽视，现举二例如下：（一）、借助根的定义降次例5：已知α、β 是方程x2-x-1=0的两根，求α4+3β的值。∵α是方程x2-x-1=0的根 ,∴α2-α-1=0 , α2=α+1 .于是 α4=（α+1）2=α2+2α+1=α+1+2α+1=3α+2 ，∴α4+3β=3α+2+3β=3（α+β）+2又α、β 是方程x2-x-1=0的两根，∴α+β=1 ，∴α4+3β=5 。（二）、构造一元二次方程降次例6、已知m2=m+1 ,n2=n+1 ,m≠n,求m4+n4之值。∵m2=m+1 ,n2=n+1 ,m≠n ，∴m、n可看成一元二次方程x2-x-1=0的两根，∴ 有m+n=1 ,mn=-1 ,∴m4+n4=(m2+n2)2-2m2n2=[(m+n)2-2mn]2-2m2n2=[12-2×(-1)]2-2(-1)2=194 .总之，降次法在我们的求值问题中是一个常用且有效的方法，尤其是对高次代数式的求值问题更为有效，用好了对我们解决问题将会起到事半功倍的效果。2 某些较复杂的分数应用题，一般思路就是先要转化分率，然后才能解答。若采用倒数转化法来解答，既能巧妙地统一单位“1”，又可减少分率转化的繁琐计算，往往能出奇制胜，使思路清晰，解法简捷。现举几例如下：
　　例1 某电器厂男工占总人数的2/3，后来又招进20名女工，这时男工占总人数的6/11。这个厂原来有男、女工各多少名?
　　分析与解答：用一般方法的解题思路是，因为这个厂总人数前后有所变化，题中两个分率所涉及的单位“1”不统一，而男工人数前后没有变化，所以把男工人数看作单位“1”，再把前后两次的女工人数转化成占男工的分率，然后再求解。如果采用倒数法，立即可统一单位“1”，即原来工厂总人数占男工人数的5/3，后来工厂总人数占男工人数的11/6。则：
　　男工人数：20÷(11/6-5/3)=20÷1/6=120(名)
　　女工人数：120×5/3-120=80(名)
　　例2 电视机厂生产一批电视机，原计划30天完成，实际每天比原计划多生产1/4，实际多少天完成?
　　分析与解答：这道题中的“30天”是原计划的工作时间，“1/4”所对应的单位“1”是原计划的工作效率，已知数量和已知分率不相对应，这就需要将某个条件进行转化。设这批电视机的台数为“1”，我们可以将“原计划30天完成”转化为“原计划每天完成这批电视机的1/30(即30的倒数，也就是工作效率)”。由题目条件可求出实际每天可以完成这批电视机的“1/30×(1+1/4)”，根据“工作量÷工作效率=工作时间”，可求出实际工作的天数：
　　1÷[1/30×(1+1/4)]=24(天)。
　　例3 某人骑自行车往返甲、乙两地，返回时逆风，返回时的速度是去时的5/6，因此返回所花的时间比去时多24分钟。去时花了多少分钟?
　　分析与解答：这题的已知条件是往、返速度间的分率和往、返相差的时间，已知数量与已知分率不相对应。设甲、乙两地间的路程为“1”，当去时所花的时间为“1”时，去时的速度也应为“1”；返回时的速度是去时的5/6，返回所花的时间应是去时的“1÷5/6”(即5/6的倒数)。于是24分钟就相当于去时的“1÷5/6-1”，这样可求得去时花了：
　　24÷(1÷5/6-1)=120(分钟)。
　　例4 甲、乙两人从东村步行到西村，甲每小时行3.5千米，乙每小时行3.75千米，已知甲早出发1/4小时而又比乙晚到1/12小时。两村相距多少千米?
　　分析与解答：将“甲每小时行3.5千米”转化为“甲每行1千米路要1/3.5小时”(即3.5的倒数)，将“乙每小时行3.75千米”转化为“乙每行1千米路要1/3.75小时”(即3.75的倒数)，由此要知每行1千米甲比乙多花“1/3.5-
　　1/3.75”小时。已知行完全程甲比乙共多花“1/4+1/12”小时，根据包含除法的意义，可以求出两村之间的路程：
　　(1/4+1/12)÷(1/3.5-1/3.75)=17.5(千米)。
　　倒数转化法是一种特殊的思考方法，也是一种重要的数学解题策略。在教学中若能引导学生灵活地掌握并加以运用，不仅能将一些较复杂的数学问题较容易地解答出来，达到变繁为简、化难为易的目的，而且还能激活学生的思维空间，拓展学生解答较复杂分数应用题的能力。
3局部通分法分析用去分母化整式方程的常规办法来解，将会带来繁琐的运算，如能适当局部通分，并辅以除法求解，将会得到较为理想的效果．解局部通分得去分母，得x2－7x＋10=x2－9x＋18．故2x=8．∴x=4．经检验知x=4是原方程的解． 4 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。例题：2008年江西省行测真题数学思想剖析：方程法和换元法数学思想依据是函数与方程思想。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数思想以函数知识做基石，用运动变化的观点分析和研究数学对象间的数量关系，使函数知识的应用得到极大的扩展，丰富并优化了数学解题活动，给数学解题带来一股很强的创新能力。方程思想是从问题的数量关系出发，运用数学语言将问题中的条件转化为方程、不等式或它们的混合组，通过解方程（组）、不等式（组）或其混合组使问题获解。函数思想与方程思想的联系十分密切，而且函数与方程思想在数学解题中可以互化互换，丰富了数学解题的思想宝库。常用的方法有方程组法和换元法。

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