证明级数1⼀（nlnn)发散还是收敛

2024-12-07 00:14:09

推荐回答（5个）

回答（1）：

p<=1时发散，p>1是收敛，这是一个很著名的结论，要证明的话，就用柯西积分审敛法则

过程如下：

由于是非负递减序列,1/n(lnn)^p与∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->∞]

=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]

其中关键项(∞)^(1-p)，当p>1时，为0，p<1时为∞,

即证得p>1收敛，p<1时发散。

当p=1时，1/nlnn与∫[2->∞]1/xlnxdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/xlnxdx=∫[2->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [2->∞] = lnln∞-lnln2发散

故∑1/nlnn发散

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。

扩展资料：

数列的柯西收敛准则：

数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，且m≠n，有

我们把满足该条件的{xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。

该准则的几何意义表示，数列{xn}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。

由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。

首先证明柯西序列是有界的。根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。

于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。

解得xN+1-εN时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。

向上述数列中添加{xn}的前N项得到{xn}本身，则由于前N项都是确定的实数，不会改变{xn}的有界性（即使此时{xn}的上、下界发生变化）。故对任意正整数n，{xn}都是有界的。

其次证明柯西序列收敛。设{xn}⊆[a,b]，有一个实数集A，A中的任一元素c满足：区间(-∞,c)中最多有{xn}中的有限项（注意用词“最多”，意味着可以有0项），而{xn}中的无限项都落在[c,+∞)。并把A在R中的补集设为B，则：

①由取法可知a∈A，并且显然b∈B。即A和B都是非空数集。

②A∪B=R。

③根据集合A、B的定义，A中任意元素都小于B中的任意元素。

参考资料：百度百科——柯西审敛原理

回答（2）：

具体回答如下：

利用积分判别法可证：

由于∫[2,+∞][1/(xlnx)]dx

= (lnx)²|[2,+∞]

= +∞

利用积分判别法可知该级数发散。

发散函数和收敛函数区别：

发散与收敛对于数列和函数来说，它就只是一个极限的概念，一般来说如果它们的通项的值在变量趋于无穷大时趋于某一个确定的值时这个数列或是函数就是收敛的，所以在判断是否是收敛的就只要求它们的极限就可以了，对于证明一个数列是收敛或是发散的只要运用书上的定理就可以了。

对于级数来说，它也是一个极限的概念，但不同的是这个极限是对级数的部分和来说的，在判断一个级数是否收敛只要根据书上的判别法就行了。

回答（3）：

p<=1时发散，p>1是收敛，这是一个很著名的结论，要证明的话，就用柯西积分审敛法则

过程如下：

由于是非负递减序列,1/n(lnn)^p与∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->∞]

=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]

其中关键项(∞)^(1-p)，当p>1时，为0，p<1时为∞,

即证得p>1收敛，p<1时发散。

当p=1时，1/nlnn与∫[2->∞]1/xlnxdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/xlnxdx=∫[2->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [2->∞] = lnln∞-lnln2发散

故∑1/nlnn发散

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。

绝对收敛

一般的级数u1+u2+...+un+...

它的各项为任意级数。

如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，

则称级数Σun绝对收敛

经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛

绝对收敛，指的是不论条件如何，穷国比富国收敛更快。

条件收敛，指的是技术给定其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。

回答（4）：

p<=1时发散，p>1是收敛，这是一个很著名的结论，要证明的话，就用柯西积分审敛法则

过程如下：
由于是非负递减序列,1/n(lnn)^p与∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx有相同的敛散性
∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->∞]
=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]
其中关键项(∞)^(1-p)，当p>1时，为0，p<1时为∞,
即证得p>1收敛，p<1时发散。

当p=1时，1/nlnn与∫[2->∞]1/xlnxdx有相同的敛散性
∫[2->∞]1/xlnxdx=∫[2->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [2->∞] = lnln∞-lnln2发散
故∑1/nlnn发散

回答（5）：

发散的，请参照N平方分之一的证明过程

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