58问答库 > 在R上连续的函数是否一定是一致连续的呢？不是的话给个反例，谢谢！

在R上连续的函数是否一定是一致连续的呢？不是的话给个反例，谢谢！

2024-11-08 06:04:00

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回答（1）：

闭区间上的连续函数，必定是一致连续（康托尔定理）。
根据一致连续定义：
dy/dx一定处处存在。lim（x1-->x2)[f(x1)-f(x2)]=0;
x1，x2是任意两点。
上式除以（x1-x2）
lim（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]/（x1-x2）=f'(x),
根据中值定理：
存在ξ∈（x1，x2），f'(ξ）（x1-x2）=f(x1)-f(x2)
|f(x1)-f(x2)|=|f'(ξ）（x1-x2）|≤f'(ξ）|ε；
取f'(ξ）的最大绝对值M，

|f(x1)-f(x2)|≤Mε=δ
此时，函数必然在定义域内一致连续。
如果f'(ξ）的最大绝对值是+∞，那么就不会一致连续。
当然，一致连续并不要求导数处处存在，条件比这个弱得多。
下面有两个定理：
（-∞，+∞）上的连续周期函数，比一致连续；
（a，+∞）上的连续函数f(x),f(a+),f(+∞）存在，必一致连续；
据此，R上的连续函数，f(-∞），f(+∞）存在，则一致连续。
f(-∞），f(+∞）不存在，就不一定一致连续了。

回答（2）：

y=x^2在R上连续但不是一致连续。

回答（3）：

比如 y=sin(x^a) 等。a=2,3,4…