2013年初中毕业生学业考试数学试题

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百度上有很多，这个是广东的。

2013年广州市初中毕业生学业考试数学试卷

第一部分 选择题（共30分）

一、           选择题：

1．比0大的数是（   ）

  A．－1              B．              C．0               D．1

2．如图所示的几何体的主视图是（   ）

                     

A．            B．         C．            D．

3．在6×6方格中，将图①中的图形N平移后位置如图②所示，则图形N的平移方法中，正确的是（  ）

   

A． 向下移动1格        B．向上移动1格       C．向上移动2格        D．向下移动2格

4．计算：（m³n）²的结果是（　　）

A．m⁶n                  B．m⁶n²               C．m⁵n²                D．m³n²

5．为了解中学生获取资讯的主要渠道，设置“A：报纸，B：电视，C：网络，D：身边的人，E：其他”五个选项（五项中必选且只能选一项）的  调查问卷，先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，根据调查的结果绘  制条形图如图，该调查的方式是（    ），图中的a的值是（　　　）

A．全面调查，26　   B．全面调查，24            C．抽样调查，26　      D．抽样调查，24

6．已知两数x，y之和是10，x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是（     ）

A．   B．   C．     D．

7．实数a在数轴上的位置如图所示，则=（    ）

  A．      B．      C．         D．

8．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（   ）

A．x≠1         B．x≥0           C．x＞0             D．x≥0且x≠1

9．若5k＋20＜0，则关于x的一元二次方程x²＋4x－k=0的根的情况是（    ）

  A．没有实数根                           B．有两个相等的实数根

  C．有两个不相等的实数根                 D．无法判断

10．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=  （    ）

A．             B．             C．                D． 

二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11．点P在线段AB的垂直平分线上，PA=7，则PB=______________．

12．广州某慈善机构全年共募集善款5250000元，将5250000用科学记数法表示为___________．

13．分解因式：x²＋xy=_______________．

14．一次函数y=（m＋2）x＋1，若y随x的增大而增大，则m的取值范围是___________  ．

15．如图，Rt△ABC的斜边AB=16，Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为_____________ ．

16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为 ____________．

 

三．解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分9分）

解方程：x²－10x＋9=0．

 

18．（本小题满分9分）

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长．

 

 

 

19．（本小题满分10分）

先化简，再求值：，其中

 

 

 

 

20．（本小题满分10分）

已知四边形ABCD是平行四边形（如图），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△A′BD．

（1）利用尺规作出△A′BD．（要求保留作图痕迹，不写作法）；

（2）设DA′与BC交于点E，求证：△BA′E≌△DCE．

 

 

 

21．（本小题满分12分）

在某项针对18～35岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为m，规定：当m≥10时为A级，当5≤m＜10时为B级，当0≤m＜5时为C级．现随机抽取30个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下：

11    10   6     15    9   16   13   12  0    8  

2     8    10    17    6   13   7    5   7    3  

12    10   7     11    3    6   8    14  15   12

（1）求样本数据中为A级的频率；

（2）试估计1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数；

（3）从样本数据为C级的人中随机抽取2人，用列举法求抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率．

 

 

 

22．（本小题满分12分）

如图， 在东西方向的海岸线MN上有A、B两艘船，均收到已触礁搁浅的船P的求救信号，已知船P在船A的北偏东58°方向，船P在船B的北偏西35°方向，AP的距离为30海里．

（1）求船P到海岸线MN的距离（精确到0．1海里）；

（2）若船A、船B分别以20海里/小时、15海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往救援，试通过计算判断哪艘船先到达船P处．

 

 

 

 

 

23．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），反比例函数（x＞0，k≠0）的图像经过线段BC的中点D．

（1）求k的值；

（2）若点P(x，y)在该反比例函数的图像上运动（不与点D重合），过点P作PR⊥y轴于点R，作PQ⊥BC所在直线于点Q，记四边形CQPR的面积为S，求S关于x的解析式并写出x的取值范围．

 

 

24．（本小题满分14分）

已知AB是⊙O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在⊙O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA．

（1）当OC=时（如图），求证：CD是⊙O的切线；

（2）当OC＞时，CD所在直线于⊙O相交，设另一交点为E，连接AE．

①当D为CE中点时，求△ACE的周长；

②连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE•ED的值；若不存在，请说明理由．

 

 

25．（本小题满分14分）

已知抛物线y₁=ax²＋bx＋c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．

（1）使用a、c表示b：

（2）判断点B所在象限，并说明理由；

（3）若直线y₂=2x＋m经过点B，且于该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y₁的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

参考答案

1．【考点】有理数大小比较．

【分析】比0的大的数一定是正数．

【解答】D

 

2．【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从正面看所得到的图形可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【解答】A

【点评】主视图是从物体的正面看得到的视图．

 

3．【考点】生活中的平移现象．

【分析】观察图形可知：从图1到图2，可以将图形N向下移动2格．

【解答】D

【点评】观察比较平移前后图形的位置，得出平移的规律．

 

4．【考点】幂的乘方与积的乘方．

【分析】根据幂的乘方的性质和积的乘方的性质进行计算，（m³n）²=m⁶n²．

【解答】B

 

5．【考点】条形统计图；全面调查与抽样调查．

【分析】根据关键语句“先随机抽取50名中学生进行该问卷调查，”可得该调查方式是抽样调查，调查的样本容量为50，故6＋10＋6＋a＋4=50．

【解答】D

【点评】从不同的统计图中得到必要的信息解决问题．

 

6．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【分析】等量关系：两数x，y之和是10；x比y的3倍大2．

【解答】C

 

7．【考点】实数与数轴．

【分析】如图可得：a＜2．5，即a－2．5＜0，则|a－2．5|=－（a－2．5）=2．5－a．

【解答】B

【点评】数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．

 

8．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．

【解答】x≥0且x≠1

【点评】分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

 

9．【考点】一元二次方程根的判别式．

【分析】∵5k＋20＜0，即k＜－4，∴△=16＋4k＜0，则方程没有实数根．

【解答】A

 

10．【考点】梯形；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理．

【分析】先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，计算tanB的值．

∵CA是∠BCD的平分线，∴∠DCA=∠ACB，又∵AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，

∵AB⊥AC，∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），∴点F是AC中点，∴AF=CF，∴EF是△CAB的中位线，∴EF=AB=2，∵==1，∴EF=DF=2．在Rt△ADF中，AF==4，则AC=2AF=8，tanB===2．

【解答】B

【点评】解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点．

 

11．【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段垂直平分线的性质，得出PA=PB．

【解答】7

【点评】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

 

12．【考点】科学记数法（表示较大的数）．

【分析】将5250000用科学记数法表示为5．25×10⁶．

【解答】5．25×10⁶

【点评】科学记数法的表示形式为a×10ⁿ的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

 

13．【考点】因式分解（提公因式法）．

【分析】x²＋xy=x（x＋y）．

【解答】x（x＋y）

【点评】因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．

 

14．【考点】一次函数图象与系数的关系．

【分析】∵一次函数y=（m＋2）x＋1，若y随x的增大而增大，∴m＋2＞0，解得m＞－2．

【解答】m＞－2

【点评】一次函数的图象与系数的关系：函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0．

 

15．【考点】旋转的性质；直角三角形斜边上的中线．

【分析】∵Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，∴A′B′=AB=16，∵C′D为Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线，∴C′D=A′B′=8．

【解答】8

【点评】旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．

 

16．【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．

【分析】过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，

∵A（6，0），PD⊥OA，∴OD=OA=3．在Rt△OPD中，∵OP=，OD=3，∴PD===2，∴P（3，2）．

【解答】（3，2）

【点评】根据题意作出辅助线，构造出直角三角形解答．

 

17．【考点】解一元二次方程（因式分解法）．

【分析】分解因式后得出两个一元一次方程，求出方程的解．

【解答】解：∵x²－10x＋9=0，

（x－1）（x－9）=0，

x－1=0或x－9=0，

∴x₁=1，x₂=9．

【点评】因式分解法解一元二次方程，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．

 

18．【考点】菱形的性质；勾股定理．

【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再利用勾股定理求出BO的长，得出答案．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，

∴AC⊥BD，DO=BO．

∵AB=5，AO=4，∴BO==3，

∴BD=2BO=2×3=6．

【点评】应用菱形的性质以及勾股定理，根据已知得出BO的长是解题关键．

 

19．【考点】分式的化简求值；二次根式的化简求值．

【分析】分母不变，分子相减，化简后再代入求值．

【解答】解：===x＋y，

当时，原式=1＋2＋1－2=2．

 

20．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定；作图－轴对称变换；翻折变换（折叠问题）．

【分析】（1）首先作∠A′BD=∠ABD，然后以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，连接BA′，DA′，作出△A′BD．

（2）由四边形ABCD是平行四边形与折叠的性质，易证得∠BA′D=∠C，A′B=CD，然后由AAS判定△BA′E≌△DCE．

【解答】解：（1）如图：①作∠A′BD=∠ABD，

②以B为圆心，AB长为半径画弧，交BA′于点A′，

③连接BA′，DA′，

则△A′BD即为所求；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAD=∠C，

由折叠的性质可得：∠BA′D=∠BAD，A′B=AB，∴∠BA′D=∠C，A′B=CD．

在△BA′E和△DCE中，∠BA′E=∠C, ∠BA′E=∠C, A′B=CD，

∴△BA′E≌△DCE（AAS）．

【点评】注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．

 

21．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数与频率．

【分析】（1）由抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人，求得样本数据中为A级的频率；

（2）根据题意得：1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为1000×=500；

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的情况，再利用概率公式求解求得答案．

【解答】解：（1）∵抽取30个符合年龄条件的青年人中A级的有15人，∴样本数据中为A级的频率为=；

（2）1000个18～35岁的青年人中“日均发微博条数”为A级的人数为1000×=500；

（3）C级的有：0，2，3，3四人，画树状图：

∵共有12种等可能的结果，抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的有2种情况，

∴抽得2个人的“日均发微博条数”都是3的概率为=．

【点评】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．

 

22．【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）．

【分析】（1）过点P作PE⊥AB于点E，在Rt△APE中解出PE；

（2）在Rt△BPF中，求出BP，分别计算出两艘船需要的时间，作出判断．

【解答】解：（1）过点P作PE⊥AB于点E，

由题意得，∠PAE=32°，AP=30海里，

在Rt△APE中，PE=APsin∠PAE=APsin32°≈15．9海里；

（2）在Rt△PBE中，PE=15．9海里，∠PBE=55°，

则BP=≈19．4，

∴A船需要的时间为=1．5小时，B船需要的时间为=1．3小时，

故B船先到达．

 

23．【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）首先根据题意求出C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数y=（x＞0，k≠0）的图象经过线段BC的中点D，D点坐标代入解析式求出k；

（2）分两步进行解答，①当D在直线BC的上方时，即0＜x＜1，如图1，根据S_{四边形CQPR}=CQ•PD列出S关于x的解析式，②当D在直线BC的下方时，即x＞1，如图2，依然根据S_{四边形CQPR}=CQ•PD列出S关于x的解析式．

【解答】解：（1）∵正方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，2），

∴C（0，2），∵D是BC的中点，∴D（1，2）．

∵反比例函数y=（x＞0，k≠0）的图象经过点D，

∴k=2；

（2）当D在直线BC的上方时，即0＜x＜1．

如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，∴y=，

                

∴S_{四边形CQPR}=CQ•PD=x•（－2）=2－2x（0＜x＜1）；

如图2，同理求出S_{四边形CQPR}=CQ•PD=x•（2－）=2x－2（x＞1）．

综上S=．

【点评】注意解答（2）问的函数解析式需要分段求解析式．

 

24．【考点】圆的综合题．

【分析】（1）关键是利用勾股定理的逆定理，判定△OCD为直角三角形，如答图①所示；

（2）①如答图②所示，关键是判定△EOC是含30度角的直角三角形，从而解直角三角形求出△ACE的周长；

②符合题意的梯形有2个，答图③展示了其中一种情形．在求AE•ED值的时候，巧妙地利用了相似三角形，简单得出了结论，避免了复杂的运算．

【解答】（1）证明：连接OD，如答图①所示．

由题意可知，CD=OD=OA=AB=2，OC=2，∴OD²＋CD²=OC²，

由勾股定理的逆定理可知，△OCD为直角三角形，则OD⊥CD，

又∵点D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：①如答图②所示，连接OE，OD，

则有CD=DE=OD=OE，∴△ODE为等边三角形，∠1=∠2=∠3=60°．

∵OD=CD，∴∠4=∠5，

∵∠3=∠4＋∠5，∴∠4=∠5=30°，

∴∠EOC=∠2＋∠4=90°，

因此△EOC是含30度角的直角三角形，△AOE是等腰直角三角形．

在Rt△EOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30°=2，

在等腰直角三角形AOE中，AE=OA=2，

∴△ACE的周长为AE＋CE＋AC=AE＋CE＋（OA＋OC）=2＋4＋（2＋2）=6＋2＋2．

②存在，这样的梯形有2个．

答图③是D点位于AB上方的情形，同理在AB下方还有一个梯形，它们关于直线AB成轴对称．

∵OA=OE，∴∠1=∠2，

∵CD=OA=OD，∴∠4=∠5．

∵四边形AODE为梯形，∴OD∥AE，∴∠4=∠1，∠3=∠2，

∴∠3=∠5=∠1．

在△ODE与△COE中，∠OEC=∠OEC，∠3=∠5，

∴△ODE∽△COE，则有=，∴CE•DE=OE²=2²=4．

∵∠1=∠5，∴AE=CE，∴AE•DE=CE•DE=4．

综上所述，存在四边形AODE为梯形，这样的梯形有2个，此时AE•DE=4．

 

25．【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）抛物线经过A（1，0），把点代入函数即可得到b=－a－c；

（2）判断点在哪个象限，需要根据题意画图，由条件：图象不经过第三象限就可以推出开口向上，a＞0，只需要知道抛物线与x轴有几个交点即可解决，判断与x轴有两个交点，一个可以考虑△，由△就可以判断出与x轴有两个交点，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由两个不同的解x₁=1，x₂=，(a≠c)，得出点B所在象限；

（3）当x≥1时，y₁的取值范围，只要把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出C(，b＋8)是抛物线与x轴的另一个交点，理由是x₁=1，x₂=，(a≠c)，由这里可以发现，b＋8=0，b=－8，a＋c=8，还可以发现C在A的右侧；可以确定直线经过B、C两点，看图象可以得到，x≥1时，y₁大于等于最小值，此时算出二次函数最小值，即求出，已经知道b=－8，a＋c=8，算出a，c，再找出一个与a，c有关的式子，解方程组求出a，c，直线经过B、C两点，把B、C两点坐标代入直线消去m，整理得到c－a=4联立a＋c=8，解得c，a，得出y₁的取值范围．

【解答】解：（1）∵抛物线y₁=ax²＋bx＋c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），把点代入函数即可得到b=－a－c；

（2）B在第四象限．理由如下：

∵抛物线y₁=ax²＋bx＋c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），∴x₁=1，x₂=，a≠c，

所以抛物线与x轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，

所以a＞0，且顶点在第四象限；

（3）∵C(，b＋8)，且在抛物线上，∴b＋8=0，∴b=－8，

∵a＋c=－b，∴a＋c=8．

把B、C两点代入直线解析式易得c－a=4，即解得

如图所示，C在A的右侧，

∴当x≥1时，y₁≥=－2．

【点评】应用数形结合思想．

 

 

 

 

（1）角BCA=角BDA（AB所对的角相等),因为AB=BD,所以角BDA=角BAD，所以角BCA=角BAD

(2)因为AB=12,BC=5，所以AC=13，因为角CAB=角CDB，角CBA=角E=90度，所以三角形ABC相似于三角形BED,所以DE:AB=BD:AC
还得再等一会
（3）连接OD,BD,OB=OD=OA,可以得出BO为角分线和角OBA=角OAB=角OBD=角BAO,因为BC边所对应的角CAB=角CDB,所以角CDB=角OBD=角OAB，所以CD平行于OB，因为角E=90°，所以在三角形BED中，角CDB+角DBE=90°，所以角CBD+角OBD=90°，所以BE垂直于OB

哪个地区的啊？？？