求幂级数∑(∞,n=1)n(n+1)x^n的在其收敛域的和函数

设其和函数为f(x),xf(x)就变成(x^n+1)/n+1的幂级数，对新的幂级数逐项求导。

显然由比bai值审敛法易知其收敛域为(-1,1)

∑du(n+1)/n(x^n)=∑(1+1/n)*x^n=∑x^n+∑(1/n)*x^n=x/(1-x)+∑(1/n)*x^n

令f(x)=∑(1/n)*x^n

则f′(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)

所以f(x)=∫(上daox,下0)1/(1-x)

dx

=-ln(1-x)

所以

∑(n+1)/n(x^n)=x/(1-x)-ln(1-x)

扩展资料：

数项级数式（4）可能收敛，也可能发散。如果数项级数式（4）是收敛的，称为函数项级数（1）的收敛点；如果数项级数式（4）是发散的，称为函数项级数（1）的发散点。函数项级数式（1）的所有收敛点的集合称为其收敛域，所有发散点的集合称为其发散域。

对于收敛域上的每一个数x，函数项级数（1）都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。因此，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数，记作s（x）。

参考资料来源：百度百科-幂级数

后项比前项的绝对值的极限=|x|
收敛域：|x|<1
级数∑(n=1,∞)x^(n+1)=x^2/(1-x)=-1-x+1/(1-x)
两边求导： ∑(n=1,∞)(n+1)x^(n)=x^2/(1-x)=-1+1/(1-x)^2
再求导： ∑(n=1,∞)n(n+1)x^(n-1)=x^2/(1-x)=2/(1-x)^3
所以：∑(n=1,∞)n(n+1)x^(n)=2x/(1-x)^3 |x|<1