已知a>b>0,求a^2+16⼀b(a-b)的最小值

已知a>b>0,求a^2+16/b(a-b)的最小值

2024-12-01 13:36:15

推荐回答（3个）

回答（1）：

b(a-b)=-(b-a/2)^2+a^2/4
ab-b^2=-(b-a/2)^2+a^2/4

且a>b>0
所以0≤ab-b^2≤a^2/4
所以16/(ab-b^2)≥64/a^2
所以a^2 +16/（ab-b^2)≥a^2+64/a^2≥2根号64=2*8=16
所以最小值为16
当b=a/2,且a=4,即a=4,b=2时,能取到最小值16

回答（2）：

先假设a是固定的值则配方，原式=a^2+16/[a^2/4-(b-a/2)^2]当b=a/2时原始最大因此原式=a^2+64/a^2>=2*根号下（a^2*64/a^2）=16当且仅当a^2=64/a^2时取等号因此当a=二倍根号二综上当a=二倍根号二，b=根号二时a^2+16/b(a-b)取最小值16 不明白的地方再问

回答（3）：

对于任意正数x，y
我们有：(x+y)^2>=4xy
而a-b满足大于0的条件
故a＾2+ 16／b(a-b)
=【（a-b）+b】^2+16/b(a-b)
>=4(a-b)b+16/b(a-b)
>=2√（4*16）=16