求通项公式的方法

有以下四种基本方法： 

1. 直接法：由已知数列的项直接写出，或通过对已知数列的项进行代数运算写出。

2. 观察分析法：根据数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第n项a n 的表达式即通项公式。

3. 待定系数法.

4. 递推归纳法：根据已知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式。

如果 数列{An}的第n项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

如果一个数列的第n项An与其项数n之间的关系可用式子An=F{n}表示，这个式子就称为该数列的通项公式。

求通项公式的几种方法
数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法．
一、观察法
已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式．
例1
观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式．
（1）
；
（2）
．
解：（1）
；
（2）
．
二、由
的前
项和
与
间的关系，求通项
已知数列
的通项公式，可以求出
的前
项和
；反过来，
若已知
的前
项和
，如何求
呢？
，
当
时，
；当
时，
，
故
此处应注意
并非对所有的
都成立，而只对当
且为正整数时成
立，因此由
求
时必须分
和
两种情况进行讨论．
例2
设数列
的前
项和
，求数列
的通项公式．
解：当
时，
；
当
时，
．
此式对
也适用．
．
点评：利用数列的前
项和
求数列的通项公式
时，要注意
是否也满足
得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出．
三、利用公式求通项公式
已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项．
例3　
等差数列的前
项和记为
，已知
，求通项
．
解：
，　①
，
②
②－①，得
．代入①，得
．
．
四、利用递推关系，求通项公式
根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式．
例4　根据下列条件，求数列的通项公式
．
（1）
数列
中，
；
（2）
数列
中，
；
（3）
数列
中，
．
解：（1）因为
，所以
．
又
，所以
成等差数列，公差为
．
所以
．
（2）因为
，所以
，
，
，
，
．
将上面
个式子叠加，得
，
所以
．
（3）由
，变形为
，
，
．
将上面的式子叠乘，得
．
．
五、两式相减，消项求通项
例5
数列
满足
，求
．
解：由题意
，
又
，
两式相减，得
．
．
又
时，也适合上式，
．
总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律．

如果一个数列的第n项an与其项数n之间的关系可用式子an=f（n）来表示，这个式子就称为该数列的通项公式。 　1、通项公式通常不是唯一的，一般取其最简单的形式；

2、通项公式以数列的项数n为唯一变量；
3、并非每个数列都存在通项公式.
4、(1)等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d
(2) 等比数列通项公式：an=a1q^(n-1)
注：a后面的n和1为下标[1]
5、应用a(n+1)=3an/(an+3),
a(n+1)=3an/(an+3),(an+3)*a(n+1)=3an两边同除以a(n+1),得an+3=3an/a(n+1).两边同除以an,得(an+3)/an=3/a(n+1),1+3/an=3/a(n+1).两边同除以3,并移项得1/3+1/an=1/a(n+1),1/a(n+1)-1/an=1/3设数列bn=1/an,则数列bn为等差数列，b1=1,公差为1/3,则Bn=1/an=n/3+2/3=(n+2)/3 所以an=3/(n+2) 于等差数列或应用于某一不规则数列可以肯定某部分为等差的等差部分。

已知数列﹛an﹜的前n项和Sn=2an－1 则数列的通向公式为？