58问答库 > 已知a,b,c均为正数,且a+b+c=2,求证:1⼀a+1⼀b+1⼀c≥9⼀2

已知a,b,c均为正数,且a+b+c=2,求证:1⼀a+1⼀b+1⼀c≥9⼀2

2024-11-02 17:33:14

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回答（1）：

证明：
1/a+1/b+1/c
=（2/a+2/b+2/c )/2
=[(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c ]/2
=[1+(b+c)/a+1+(a+c)/b+1(a+b)/c ]/2
=[3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a]/2
∵b/a+a/b≥2，c/a+a/c≥2，c/b+b/c≥2
∴[3+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)+(a/b+b/a)]/2 ≥(3+2+2+2 )/2=9/2
∴1/a+1/b+1/c≥9/2
当且仅当a=b=c时，取等号。