判断级数∑1/1+a∧n﹙a>0﹚的敛散性

2024-11-08 21:01:07
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回答(1):

解:原式=(a^(1/n)+a^(-1/n)-2)

=a^(- 1/n)[a^(1/n)- 1]²

=lim{a^(- 1/n)[a^(1/n)- 1]²}/(1/n²)

=lima^(- 1/n)·lim[a^(1/n)- 1]²}/(1/n²)

=lim[(1/n)·lna]²}/(1/n²)

=ln²a>0

所以此级数收敛

扩展资料

性质:

如果给定一个定义在区间i上的函数列,u1(x), u2(x) ,u3(x)......至un(x)....... 则由这函数列构成的表达式u1(x)+u2(x)+u3(x)+......+un(x)+......⑴称为定义在区间i上的(函数项)无穷级数。

对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级数u1(x0)+u2(x0)+u3(x0)+......+un(x0)+.... (2) 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数(2)发散,就称点x0是函数项级数(1)的发散点。函数项级数(1)的收敛点的全体称为他的收敛域 ,发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x,函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ,因而有一确定的和s。

这样,在收敛域上 ,函数项级数的和是x的函数S(x),通常称s(x)为函数项级数的和函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,并写成S(x)=u1(x)+u2(x)+u3(x)+......+un(x)+......把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x),则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)。

记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 (当然,只有x在收敛域上rn(x)才有意义,并有lim n→∞rn (x)=0。

回答(2):

1. a<1, 当n趋于无穷,a^n趋于0,一般项1/(1+a^n)趋于1,级数发散
2.a=1 一般项1/(1+a^n)=1/2,级数发散
3.a>1, 1/(1+a^n)<1/a^n.因为1/a<1,级数1/a^n收敛,原级数收敛
所以:a>1收敛,0

回答(3):