两个矩阵乘积的秩为何能小于两个中小的那个？

设AB=C，将矩阵B分块为B=(b1,b2,...,bs) ，C分块为C=（c1,c2,...,cs）

则AB=(Ab1,Ab2,...,Abs) = （c1,c2,...,cs）

即 Abi=ci 其中i=1,2，.......，s

可知矩阵C的第i个列向量均是由矩阵A的所有列向量线性组合而成，而组合系数即为矩阵B的第i列的各分量。

既然C可以有矩阵A线性表示，即r（C）<=r(A)。

同理对B进行行分块也可证明。

扩展资料：

用向量组的秩定义

向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩。

则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵A的线性无关纵列的极大数目，即 A的列空间的维度。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义 A的秩为 A的行空间的维度。

用线性映射定义

考虑线性映射：对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的 线性映射f，都存在矩阵A使得 f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵 A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。

矩阵 A称为 fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 n减 f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 f的像的维度。

参考资料：百度百科--秩

楼主说的应该是r（AB）<=min(r(A),r(B))
证明很简单，但是方法很重要
设AB=C，将矩阵B分块为B=(b1,b2,,,,,,bs) ，C分块为C=（c1,c2,,,,,cs）
则AB=(Ab1,Ab2,,,,,,Abs) = （c1,c2,,,,,cs）
即 Abi=ci 其中i=1,2，，，，s
可知矩阵C的第i个列向量均是由矩阵A的所有列向量线性组合而成，而组合系数即为矩阵B的第i列的各分量。
既然C可以有矩阵A线性表示，即r（C）<=r(A)
同理对B进行行分块也可证明