为什么单调有界函数未必有极限而单调有界数列必有极限

函数有连续性问题，数列没有（数列必然不连续），所以函数的可以求定义域中任意一点的极限。但是数列就只能求无穷大时的极限了。
例如f（x）=arctnx（x≤0），arctnx+1（x＞0），这个分段函数是有界函数，在x∈R上都有当x0＞x1时，有f（x0）＞f（x1）。所以是x∈R上的单调增函数。但是此函数在x=0处无极限（左极限不等于右极限）
但是对数列是无法求n=1、2……这些值时的极限，只能求n→∞时的极限。

“单调有界数列必有极限”是微积分学的基本定理之一。数列的极限比较简单，都是指当n→∞（实际上是n→+∞）时的极限，所以我们只要说求某某数列的极限（不必说n是怎么变化的），大家都明白的。
函数的极限就比较复杂，如果只说求某某函数的极限，别人是不明白的，还必须要指明自变量（例如x）是如何变化的。
考虑自变量的变化趋势，有x→x0（x0是某个实数，这有多少种？）与x→∞；细分的话，还有x从左边趋向于x0、从右边趋向于x0、趋向于正无穷大、趋向于负无穷大。
还不要忘记，我们研究函数的极限是有前提条件的：
研究x→x0时的极限，要求函数在x0某个去心邻域内有定义；研究x→∞时的极限，要求存在正数X，当|x|>X时函数有定义。
只有在满足前提条件下，才可以谈这个函数此时的极限存在与不存在。
你只给出函数单调有界，既不知道函数的定义域是怎样的，又不知道自变量如何变化，这样情形下谈函数的极限根本就没有丝毫的意义。