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等差数列的求和公式是什么

2025-03-09 11:58:35

推荐回答（5个）

回答（1）：

等差数列求和公式属于等差数列中的一种，用于计算等差数列从首项至末项的和。

基本公式：

数列和公式：sn= (a1 an)×n÷2；数列和=(首项+末项)×项数÷2；

通项公式：an = a1 (n-1)d;通项=首项+(项数一1) ×公差;

项数公式：n= (an a1)÷d+1；项数=(末项-首项)÷公差+1；公差公式：d =(an-a1))÷(n-1);公差=(末项-首项)÷(项数-1);

基本概念：

首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示;项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示;公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示; 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示;数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差数列中涉及五个量：a1，an，d，n, sn，通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。

等差数列基本性质

（1）数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S =+的形式(其中a、b为常数)。

（2）在等差数列中，当项数为时，；当项数为时，。

（3）若数列为等差数列，则…仍然成等差数列，公差为。

（4）若数列均为等差数列，且前n项和分别是，则=。

（5）在等差数列中，S = a，S = b (n>m)，则S = (a－b)。

（6）记等差数列的前n项和为S。①若a >0，公差d<0，则当a ≥0且+1≤0时，S 最大；②若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且+1≥0时，S 最小。

（7）若等差数列Sp=q,Sq=p,则Sp+q=0。

等差中项

等差中项即等差数列头尾两项的和的一半，但求等差中项不一定要知道头尾两项。等差数列中，等差中项一般设为。当成等差数列时，，所以为的等差中项，且为数列的平均数。并且可以推知n+m=2×r，且任意两项的关系为：，(类似)，相当容易证明，它可以看作等差数列广义的通项公式。

等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有。则。

其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何?书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了的求和公式。

等差数列求和的例题：

已知一个等差数列的首项为 a1 = 2，公差为 d = 3，求该等差数列的前 5 项和 Sn。

解题步骤如下：

1. 确定已知条件：

首项 a1 = 2

公差 d = 3

要求的项数 n = 5

2. 使用等差数列求和公式：

等差数列的求和公式为 Sn = (n/2) * (2a1 + (n-1)d)

3. 计算前 5 项和 Sn：

将已知条件代入等差数列求和公式，得到 Sn = (5/2) * (2*2 + (5-1)*3)

进行简化计算，得到 Sn = (5/2) * (4 + 12)

继续计算，得到 Sn = (5/2) * 16

最后计算，得到 Sn = 40

因此，该等差数列的前 5 项和 Sn = 40。

回答（2）：

1、等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项数-1）*公差和=（首项+末项）*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。

2、Sn=na(n+1)/2n为奇数

sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数

3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。

4、公差为d的等差数列｛an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。将求和公式代入即可。当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。

知识点：

等差数列基本公式：

末项＝首项＋(项数－1)×公差

项数＝（末项－首项）÷公差＋1

首项＝末项－(项数－1)×公差

和＝(首项＋末项）×项数÷2

末项：最后一位数

首项：第一位数

项数：一共有几位数

和：求一共数的总和

回答（3）：

等差数列求和公式

Sn=(a1+an)n/2；Sn=na1+n(n-1)d/2（d为公差）；Sn=An2+Bn；A=d/2，B=a1-(d/2)。

基本性质
若m、n、p、q∈N

①若m+n=p+q，则am+an=ap+aq

②若m+n=2q，则am+an=2aq（等差中项）

注意：上述公式中an表示等差数列的第n项。

拓展资料

等差数列推论
（1）从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。

（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。

（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差数列，等等。若m+n=2p，则a(m)+a(n)=2*a(p)。

证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)；p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p。

（4）其他推论：

①和=（首项+末项）×项数÷2；

②项数=（末项-首项）÷公差+1；

③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；

④末项=2x和÷项数-首项；

⑤末项=首项+（项数-1）×公差；

⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

回答（4）：

等差数列的求和公式分为以下两种情况：

非等差数列求和：如果数列不是等差数列，那么可以用一般求和公式，即 Sn=na1+n(n-1)d/2，其中a1为首项，d为公差。

等差数列求和：如果数列是等差数列，那么可以用等差数列求和公式，即 Sn=na1+n(n-1)d/2，其中a1为首项，d为公差。也可以用前n项和的公式，即Sn=n(a1+an)/2，其中a1为首项，an为第n项。

希望以上信息对回答您的问题有帮助。

回答（5）：

1、等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项数-1）*公差和=（首项+末项）*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。

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