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当x-0时求极限（√1+xsinx - √cosx ）⼀arcsin눀x

2024-11-08 22:55:04

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回答（1）：

当式子有加减运算时，是不能用等价无穷小的，比如这里√(1+xsinx)-√cosx不能等价为√(1+x^2)-√cosx
直接使用洛必达法则有困难，可以分子有理化后拆出部分式
lim(√(1+xsinx)-√cosx)/(arcsinx)^2
=lim(√(1+xsinx)-√cosx)/x^2
=lim(1+xsinx-cosx)/[x^2(√(1+xsinx)+√cosx)]
=lim(1+xsinx-cosx)/x^2*lim1/[(√(1+xsinx)+√cosx)]
=1/2lim(1+xsinx-cosx)/x^2
=1/2lim(sinx+xcosx+sinx)/2x（洛必达法则）
=1/4lim(2sinx/x+cosx)=3/4

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