58问答库 > （1）已知椭圆C x^2⼀2+y^2=1 的右焦点为F 。O为坐标原点（1）求过点O,F并且与直线X=2相切的圆的方程

（1）已知椭圆C x^2⼀2+y^2=1 的右焦点为F 。O为坐标原点（1）求过点O,F并且与直线X=2相切的圆的方程

2024-12-05 11:22:31

推荐回答（4个）

回答（1）：

(1) (x-1/2)^2+(y-√2)^2=9/4。

a=√2,b=1,c=1。若相切，设切点为P，然后A(2,0)，则由切线定理，AP^2=AF*AO=(2-1)*(2-0)=2，故AP=√2，圆心Q在OF的中垂线上，且QP平行x轴，而且故圆心坐标为(1/2,√2)，由此得到(x-1/2)^2+(y-√2)^2=9/4。

(2) x^2/4+y^2/3=1。

设B(0,b)，F(-c,0)，则BC⊥BF，得C(b^2/c,0)。因为BCF是直角三角形，故圆的半径=FC/2=(c+b^2/c)/2=2，由离心率=1/2，得c/a=1/2，故b/c=√3，故

2=(c+b^2/c)/2=(c+3c)/2=2c，得c=1，故a=2，b=√3，椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1。

回答（2）：

（1）
由题，a²=2，b²=1，
所以，c=1，F点坐标为(-1, 0)，
因为，所求圆过点O、F，则圆心在OF的中垂线上，
设圆心坐标为H(-1/2，y)，圆与直线x＝2相切，
所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即5/2，
所以，，√((-1/2)²+y²)=5/2，
解得，y=±√6。
所求圆的方程为：
(x+1/2)²+(y-√6)²=25/4，
或 (x+1/2)²+(y+√6)²=25/4

（2）
由题可得A点在x轴，B点在y轴
设B点坐标为（0，b），C点坐标为（x1，0）
则F点坐标为（-c，0）
圆的离心率e=1/2，则 a=2c ①
因为BC⊥BF，所以x1=b²/c x1＞0
所以B,C,F三点确定的圆M的圆心为（-c/2+b²/2c，0）半径为（x1+c）/2＝2
即，(b²/c)+c=4 ②
又，a²＝b²+c² ③
联立①、②、③
解得a=2，b=√3，c=1
所以椭圆方程为 x²/4+y²/3=1

回答（3）：

(1) c² = a² - b² = 2 - 1 = 1, c = 1
F(1, 0)
显然圆心在x = (1 + 0)/2 = 1/2上，半径 = 2 - 1/2 = 3/2
圆心P(1/2, p): OP = 3/2 = √[(1/2 - 0)² + (p - 0)²]
p = ±√2
圆的方程: (x - 1/2)² + (y ±√2)² = 9/4

(2)显然B只能是上顶点或下顶点, 设为上顶点(0, b), 不妨设F(c, 0)
BF斜率为-b/c, BC斜率为c/b
BC的方程: y = cx/b + b
y = 0, x = -b²/c
C(-b²/c, 0)
CF的中垂线为x = (-b²/c + c)/2 = (c² - b²)/(2c)
FB的中点为N(c/2, b/2), 中垂线为y - b/2 = (c/b)(x - c/2)
取x = (c² - b²)/(2c) , y = 0
圆心M((c² - b²)/(2c), 0)
MF = 半径2 = c - (c² - b²)/(2c)
c² + b² = a² = 4c (i)
离心率为c/a = 1/2 (ii)
由(i)(ii): c = 1, a = 2, b² = 3
椭圆的方程: x²/4 + y²/3 = 1

回答（4）：

恩

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