当x趋于0时，sin1⼀x为什么不存在极限

极限是一个有限的，确定的常数，当x趋于0时，1/x趋近于无穷，sin1/x的极限不是一个确定常数,
当x趋向于0时，1/x趋向于无穷大（正无穷大和负无穷大），（无穷小量的倒数是无穷大量），观察1/x的正弦图像可知。

它是一条上下波动的曲线，最大值为1，最小值为-1。也就是说当1/x趋向于无穷大时，1/x的正弦值就无限趋近于正负1，它只是有界但并不单调。而根据极限的定义可知：极限值有且只有一个；单调有界数列极限必然存在，故它的极限并不存在。

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对定义的理解：

1、ε的任意性　定义中ε的作用在于衡量数列通项，又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。

同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

2、N的相应性　一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。

但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

3、从几何意义上看，“当n>N时，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味着：所有下标大于N的都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。

换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。

因为极限是一个有限的，确定的常数。当x趋于0时，1/x趋近于无穷，sin1/x的极限不是一个确定常数，这个可由其函数图象看出，图象是波动的。极限思想：分析问题和解决问题的一种数学思想。将一个问题极限化，考虑最极端的情况，忽略过程，得出结果。

极限思想的题型特征：根据题意就可以来判断是否可用极限思想。 出现“最多(少)、至多(少)”“最大”,“最小”等字眼时就可能会用到极限思想。

微积分一诞生，就在力学、天文学中大显身手，能够轻而易举地解决许多本来认为束手无策的难题。后来，微积分又在更多的领域取得了丰硕的成果。人们公认微积分是17、18世纪数学所达到的最高成就，然而它的创始人牛顿和莱布尼茨对之所作的论证却并不清楚、很不严谨。

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无论是牛顿的瞬和流数，还是莱布尼茨的dx和，都涉及到"无穷小量"，而在他们各自的论述中都没有给出确定的、一贯的定义。在微积分的推导和运算过程中，常常是先用无穷小量作为分母进行除法，然后又把无穷小量当作零，以消除那些包含有它的项。

牛顿曾用有限差值的最初比和最终比来说明流数的意义，但是当差值还未达到零时，其比值不是最终的，而当差值达到零时，它们的比就成为，实在令人困惑。牛顿承认他对自己的方法只作出"简略的说明，而不是正确的论证。"

莱布尼茨曾把无穷小量形容为一种"理想的量"，但正如一些数学家所说："与其说是一种说明，还不如说是一个谜。"

参考资料来源：

百度百科——极限

因为f(x)=sin(1/x)此函数有界

g(x)=xx→0时，limg(x)=0

所以，x→0时，lim[g(x)·f(x)]=0

正弦函数为周期连续函数，1/x为无穷量，sin1/x为不定值，因而没有极限。

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性质：

设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数ε （不论其多么小），都∃N>0，使不等式|xn-a|<ε在n∈(N,+∞)上恒成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。

如果上述条件不成立，即存在某个正数ε，无论正整数N为多少，都存在某个n>N，使得|xn-a|≥ε，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。

正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N。

又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

因为在0附近存在使得sin(1/x)→0的子列，

并且存在使得sin(1/x)→1的子列。

如下：

在x=1/(kπ)，k为正整数，k→∞，即x→0，此时sin(1/x)=sin(kπ)=0。

在x=1/(2kπ+π/2)，k为正整数，k→∞，即x→0，此时sin(1/x)=sin(2kπ+π/2)=1。

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极限不存在的几种情况：

1、结果为无穷大时,像1/0,无穷大等。

2、左右极限不相等时,尤其是分段函数的极限问题。

极限存在与否条件：

1、结果若是无穷小，无穷小就用0代入，0也是极限。

2、若是分子的极限是无穷小，分母的极限不是无穷小，答案就是0，整体的极限存在。

3、如果分子的极限不是无穷小，而分母的极限是无穷小，答案不是正无穷大，就是负无穷大，整体的极限不存在。

当x趋向于0时，1/x趋向于无穷大（正无穷大和负无穷大），（无穷小量的倒数是无穷大量）。

观察1/x的正弦图像可知，它是一条上下波动的曲线，最大值为1，最小值为-1，也就是说当1/x趋向于无穷大时，1/x的正弦值就无限趋近于正负1，它只是有界但并不单调。

而根据极限的定义可知：极限值有且只有一个；单调有界数列极限必然存在。

故它的极限并不存在。

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证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容，因为其定义与一元函数极限的定义有所不同，需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近，所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种。

其中有一种是找一种含参数的方式趋近，代入二元函数，使之变为一元函数求极限。若最后的极限值与参数有关，则说明二重极限不存在。