1、外心。∵PA=PB=PC,而OA、OB、OC分别是它们的射影,
∴OA=OB=OC,
∴O是底△三边垂直平分线的交点,
∴O是外心。
2、外心。
∵
∴O是△ABC的外心。
3、垂心。
连结AO,延长并BC于D,连结BO并延长并AC于E,
∵AP⊥BP⊥CP,
BP∩CP=P,
∴AP⊥平面BCP,
∵BC∈平面BCP,
∴AP⊥BC,
∵OP⊥平面ABC,BC∈平面ABC,
∴BC⊥OP,
∵AP∩OP=P,
∴BC⊥平面PAD,
∵AD∈平面PAD,
∴BC⊥AD,
同理AC⊥BE,
∴AD和BE分别是BC边、AC边上的高,
∴O是两高的交点,故是垂心。
4、垂心,用三垂线定理,即可证明出AD、BE是高,
故是垂心。
5、内心,分别作三个侧面△的斜高,
用三垂线定理,可证明OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,
则〈PDO、〈PEO、〈PFO分别是三侧面与底面所成二面角的平面角,
〈PDO=〈PEO=〈PFO。
∵OD=OP*cot
∴O是内心。
6、内心,
PD=PE=PF,
根据三垂线定理,
OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,
根据勾股定理,
OD^2=PD^2-OP^2,
OE^2=PE^2-OE^2,
OF^2=PF^2-OP^2,
∴OD=OE=OF,
∴O是△内心。