求证(a^n+b^n)⼀2>((a+b)⼀2)^n

采用数学归纳法。
第一步，当n=1时，不等式显然成立。
第二步，假设n=k时，不等式成立。即有(a^k+b^k)/2>=[(a+b/2)]^k
那么，两边同时乘以（a+b/2),可得
（a+b/2)(a^k+b^k)/2>=（[(a+b/2)]^（k+1）
左边=[a^(k+1)+ab^k+a^kb/2+b^(k+1)/2]/2
>=[a^(k+1)+b^(k+1)]/2
即n=k+1时成立。
第三步，由一和二可知，n=1时成立，则n=2时成立，则n=3时成立……类推，对任意n不等式都成立。

你可以用归纳法来解。
（i）当n=1时，不等式成立。
（ii）设n=k，不等式成立。即(a^k+b^k)/2>=[(a+b/2)]^k
两边同时乘以（a+b/2),可得
（a+b/2)(a^k+b^k)/2>=（[(a+b/2)]^（k+1）
左边=[a^(k+1)+ab^k+a^kb/2+b^(k+1)/2]/2
>=[a^(k+1)+b^(k+1)]/2
即n=k+1时成立。
（iii），由i，ii可知，当n=1时不等式成立，则n=2时不等式也成立，n=3时不等式也成立……以此类推，对于任意数n，不等式都成立。

令f(x)=x^n
f''(x)=(n-1)nx^(n-2)
因为f''(x)恒大于零
所以f(x)在(0,∞)是凹函数
所以(a^n+b^n)/2>((a+b)/2)^n