【求助一道初中数学题】当x变化时，分式3x눀+6x+5⼀1⼀2x+x+1的最小值是多少？（有解题步骤）

(1)分子分母同乘以2，分数值不变，分母变为6x²+12x+10，分子是x²+2x+2，分子+2-2分数值不变，则分式化简为答案中的样子了。
(2)答案的推理过程很明白，你把化简后的分式看作一个整体，这个整体的最小就是求后面的分式的最小（6是一个常数），因为后面的分式带负号，所以，又变成求2/x²+2x+2的最大值，而分数分母越小分数值越大，所以就演化成了求x²+2x+2的最小值
(3)这个题目主要考查了几个考点：
分式的化简
二次函数求极值
做这类题目，第一步将分式化简为一个比较简单的形式，最好是一个简单的二次函数，然后就运用二次函数求极值的方法进行求解就可以了。
如果还不明白，可以追问。
希望对你有所帮助

1，这一步的思路是求分子分母含x的最值时往往把分子或分母中其中一个变为常数再判断最大值和最小值。
这一步就是在这个思路下出来的。
因为 3x²+6x+5=6（1/2x²+x+1）-1 所以化简就可得到
2，x²+2x+2=（x+1）²+1大于等于1
x²+2x+2有最小值 那么2/（x²+2x+2）就有最大值
2/（x²+2x+2）有最大值 6-2/（x²+2x+2）就有最小值
所以分式有最小值，
3，在1中已回答

3x²+6x+5/1/2x²+x+1
=[6（1/2x²+x+1）-1]/（1/2x²+x+1）
=6-1/（1/2x²+x+1）
=6-2/（x²+2x+2）
这是同次多项式除法常用的化简方法，即将次数最高项提取一个常数，其他项凑数

①(3x²+6x+5)/(1/2x²+x+1)
=(6x²+12x+10)/(x²+2x+2) 【上下同时乘2】

=(6x²+12x+12-2)/(x²+2x+2) 【因为6x²+12x+12就是(x²+2x+2)×6，所以提出12（因为）】
=[6(x²+2x+2)-2]/(x²+2x+2) 【前三项提出个6】
=6-2/(x²+2x+2) 【6(x²+2x+2)÷(x²+2x+2)等于6】
②因为原式=6-2/(x²+2x+2)，6已经是常数不变，是分母，就设A=x²+2x+2，那么原式就是6-2/A。因为分母越大，这个数越小，所以A最大时2/A最小（就相当于成反比了）。2/A最大，-2/A是它的相反数，就最小，再加上个不变的6，6-2/(x²+2x+2)就是最小，那么原式就是最小的，明白了？
③这就是分子分母都有最值，那就把分子提取一个定值，再取另一个的最值就行了。

1 是约分来得，2 他们已经无法分解了，所以就是最小值，3 普通一般的解法