设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA

2024-11-08 00:26:43

推荐回答（5个）

回答（1）：

因为A,B都是n阶对称矩阵,故A=A',B=B'.
1)充分性.
由于AB=BA
所以(AB)'=(BA)'=A'B'=AB.
故AB是对称矩阵.
2)必要性.
由于AB是对称矩阵,得
(AB)'=AB,
B'A'=AB,
BA=AB.
故命题成立.

回答（2）：

证明：先证明A是n阶对称矩阵充分必要条件是A＝A＾T，设A＝(aij)n*n，A^T=(bij)n*n aij=bji 1<=i,j<=n，当A是对称矩阵时，aij=aji (n*n)，当然有A=A^T，当A＝A＾T时，aij=aji，即A是对称矩阵。

已知A、B是n阶对称矩阵时,A=A^T B=B^T，若AB=BA，两边转置有：(AB)^T=(BA)^T 即：(AB)^T=A^TB^T，故AB=BA，原命题成立。

对称矩阵是元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)。

回答（3）：

充分性：因为AB=BA，所以（AB）'=B'A'=BA=AB，从而AB是对称矩阵
必要性：因为AB为对称矩阵，所以AB=（AB）'=B'A'=BA
所以对称距是充分必要条件

回答（4）：

因为A,B都是n阶对称矩阵,故A=A',B=B'. 1)充分性. 由于AB=BA 所以(AB)'=(BA)'=A'B'=AB. 故AB是对称矩阵. 2)必要性. 由于AB是对称矩阵,得 (AB)'=AB, B'A'=AB, BA=AB. 故命题成立

回答（5）：

简单计算一下即可，详情如图所示