高中数学函数题目 求数学高手

(1)
设x1,x2>0
∵f(x)=x-a/x是凸函数
∴f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x2)]/2恒成立
即（x1+x2)/2-2a/(x1+x2)>(x1-a/x1)/2+(x2-a/x2)/2
（x1+x2)/2-2a/(x1+x2)>(x1+x2)/2-a/2(1/x1+/x2)
4a/(x1+x2) 4ax1x2 a[(x1+x2)²-4x1x2]>0
a(x1-x2)²>0 恒成立
∴需要a>0即可
（2）
a>0
f’（x)=1+a/x²=(x²+a)/x²>0恒成立
∴f(x)为增函数
∵x∈[2/3,3/2]
∴f(x)min=f(2/3)=2/3-3/2a
f(x)max=f(3/2)=3/2-2/3a
∵|f(x)|≤1恒成立
∴-1≤f(x)≤1恒成立
∴f(x)min=2/3-3/2a≥-1 ==>a≤10/9
f(x)max=3/2-2/3a≤1 ==>a≥3/4
∴a的取值范围是 3/4≤a≤10/9

这是第一问
对于任意的x1,x2属于（0，正无穷）
f((x1+x2)/2)-1/2f(x1)-1/2f(x2)
={(x1+x2)/2-2a/[x1+x2]}-1/2{x1-a/x1}-1/2{x2-a/x2}
=a/x1+a/x2-2a/(x1+x2)

=a(x1*x1+x2*x2)/[x1x2(x1+x2)]
所以a >0

第二问我再想想

1、算f(x)的二阶导数，令这个二阶导数小于0，就可以算出a的取值范围。
2、算f(x)的一阶导数，分a<2/3，2/33/2这3种情况讨论极值点和最值点，记得算边界两个点的值，即2/3和3/2的值。
希望对你有帮助O(∩_∩)O~