（1）∵f （x）的图象关于原点对称，∴f （-x）+f （x）=0恒成立，
即2bx2+2d≡0，∴b=d=0．
又f （x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，即y-6=8（x-3），
∴f'（3）=8，且f （3）=6．
而f （x）=ax3+cx，∴f'（x）=3ax2+c．
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| f′(3)＝27a+c＝8 |
| f(3)＝27a+3c＝6 |
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解得，
故所求的解析式为f （x）=
x3?x．
（2）由解得x=0或x=±．
又由f'（x）=0，得x=±1，
且当x∈[?，?1)或x∈(1，]时，f'（x）＞0；
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0．
所以，函数f （x）在[-，-1]和[1，]上分别递增；在[-1，1]上递减．
于是，函数f （x）在[-，]上的极大值和极小值分别为f （-1）=，f （1）=-．
而-＜-＜＜，
故存在这样的区间[a，b]，其中满足条件的一个区间为[-，]．
（3）由（2）知f'（x）=x2-1，所以，有an+1≥（an+1）2-1．
而函数y=（x+1）2-1=x2+2x在[1，+∞）上单调递增，
所以，由a1≥1，可知a2≥（a1+1）2-1≥22-1；
进而可得a3≥（a2+1）2-1≥23-1；…
由此猜想an≥2n-1．
下列用数学归纳法给出证明：
①当n=1时，a1≥1=21-1，结论成立．
②假设n=k时有ak≥2k-1，
则当n=k+1时，由于函数f （x）=x2+2x在[1，+∞）上递增，可知，
ak+1≥（ak+1）2-1≥（2k-1+1）2-1=22k-1≥2k+1-1，
即n=k+1时，结论也成立．
所以，对任意的n∈N*都有an≥2n-1，即1+an≥2n，＜
从而+
