已知b⼀(a+b)=(a+c-b)⼀(b+c-a)=(a+b+c)⼀(2a+b+2c),求证：a:b:c=2:3:4.

亲，可以用反证法的呦！
证明：设a:b:c=2:3:4,
若a=2x,则：b=3x,c=4x,
因为b/(a+b)=(a+c-b)/(b+c-a)=(a+b+c)/(2a+b+2c)
所以原式可化为：3x/(2x+3x)=(2x+4x-3x)/(3x+4x-2x)=(2x+3x+4x)/(4x+3x+8x)
即：3x/5x=3x/5x=9x/15x，原式成立，
所以a:b:c=2:3:4

首先把方程倒过来
a+b/b=b+c-a/a+c-b=2a+b+2c/a+b+c
等式全部减去1仍然成立
a/b=2b-2a/a+c-b=a+c/a+b+c
由a/b=a+c/a+b+c得
a/b=c/a+c
又由a/b=c/a+c得 c-a/a+c-b=a/b=2b-2a/a+c-b
所以c-a=2b-2a c=2b-a
又由于前式a/b=c/a+c
将c=2b-a代入得 a/b=2/3
c/a=2b/a-1=2 所以a/c=1/2
这样由a/b=2/3 a/c=1/2得结果a:b:c=2:3:4

即(a+b)/b=(b+c-a)/(a+c-b)=(2a+b+2c)/(a+b+c)
同时减去1
a/b=(2b-2a)/(a+c-b)=(a+c)/(a+b+c)

a/b=(a+c)/(a+b+c)
a²+ab+ac=ab+bc

a²+ac=bc
a(a+c)=bc
a/b=c/(a+c)

a/b=(2b-2a)/(a+c-b)
a²+ac-ab=2b²-2ab
a²+ac=2b²-ab
a(a+c)=b(2b-a)
a/b=(2b-a)/(a+c)

所以c/(a+c)=(2b-a)/(a+c)
c=2b-a
代入a/b=c/(a+c)
a/b=(2b-a)/2b
2ab=2b²-ab
2b²=3ab
2b=3a
a:b=2:3

c=2b-a=3a-a=2a
所以a:b:c=2:3:4

b/a+b=a+c-b/b+c-a-->a+c/2b+c
b/a+b=a+b+c/2a+b+2c-->a+c/a+2c
得a+2c=2b+c-->a+c=2b
将b/a+b=a+b+c/2a+b+2c中的a+b+c/2a+b+2c替换为b/a+b=3b/5b-->2b=3a
由a+c=2b 2b=3a 得出结论a:b:c=2:3:4.