2的根号2次方

2024-11-30 15:29:34

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回答（1）：

设s/t略大于根号2。其中s，t是正整数,由e的定义可知
e＞（1+1/s）^s，s是正整数。
那么只需说明，存在这样的s，t满足
2^(s/t)＜（1+1/s）^s即可得到2的根号2次方＜e
上面等价于2＜（1+1/s）^t
由二项式展开，右边前四项是1+t/s+t(t-1)/(2s^2)+t(t-1)(t-2)/(6s^3)
又由于有理数可以任意接近根号2并且大于根号2
所以这4项的和可以任意接近1+2^0.5/2+1/4+2^0.5/24,这个数和2比较，相当于13/9和2^0.5
所以s，t充分大且两者比充分接近根号2以后2^(s/t)＜（1+1/s）^s
即2的根号2次方＜e
也可以这样解：2^(√2)=2^(1.4142)=2.6651

回答（2）：

2的根号2次方=2.665144143