58问答库 > 设函数f(x)在区间[a,+∞）上连续，有lim(x→+∞)f(x)存在且有限。证明：f（x）在[a,+∞）上有界

设函数f(x)在区间[a,+∞）上连续，有lim(x→+∞)f(x)存在且有限。证明：f（x）在[a,+∞）上有界

2025-01-03 04:14:01

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回答（1）：

因为lim(x→+∞)f(x)存在且有限，设为C
根据定义，任意ε>0，存在X>a，当x>X，有|f(x)-C|<ε
不妨取ε=1
即有，C-1
又因为f(x)在区间[a,+∞)上连续
那么，对上述X>a，有f(x)在区间[a,X]上连续
因此，由最值定理得：f(x)在[a,X]上必有最大值f(x)max和最小值f(x)min
即有：f(x)min≤f(x)≤f(x)max，x∈[a,X]

那么，取：
max=max{C+1,f(x)max}
min=min{C-1,f(x)min}
于是，有：
min≤f(x)≤max，x∈[a,+∞)
因此f(x)有界
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