为什么利用等价无穷小的性质求极限一定要化到乘除法才能用？

2024-11-16 22:45:40

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回答（1）：

原因在于等价无穷小的定义：
f(x)~g(x) (x->a) 它的意思是 lim(x->a) f(x)/g(x)=1.........................................(1)
而在求极限时利用等价无穷小替换,本质上是做了个变换: 将f(x)化为 [f(x)/g(x)]*g(x), 然后利用极限的四则运算，以及(1)式来解决为题。
看两个例子如果要求极限 lim(x->a) f(x)/h(x), 此时可以替换，因为
lim(x->a) f(x)/h(x)=lim(x->a) {[f(x)/g(x)]*g(x)}/h(x)=lim(x->a) [f(x)/g(x)]*[g(x)/h(x)]
=lim(x->a) g(x)/h(x)
但是如果求极限 lim(x->a) [f(x)-h(x)]/m(x)。虽然也可以做变换，但是变完以后，不能用（1）
lim(x->a) [f(x)-h(x)]/m(x)=lim(x->a) {[f(x)/g(x)]*g(x)-h(x)}/m(x)
由极限四则运算的应用条件可以知道，你现在不能把其中的 f(x)/g(x) 这一部分单独用（1）来求极限。

回答（2）：

这是因为等价无穷小实际上是洛比达法则的一种应用，而在洛比达法则中要求f（x）不能是加减形式。

回答（3）：

是不能直接利用，查阅考研书