急~~~~~~~~!!!!!!! 2007年数学中考题

常州市2007年初中毕业、升学统一考试
数 学
注意事项：1．全卷共8页，28题，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚，并将座位号填写在试卷规定的位置上．
3．用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔将答案直接填写在试卷上．
4．考生在答题过程中，可以使用CZ1206，HY82型函数计算器，若试题计算结果没有要求取近似值，则计算结果取精确值（保留根号和 ）．
一、填空题（本大题每个空格1分，共18分．把答案填在题中横线上）
1． 的相反数是 ， 的绝对值是 ，立方等于 的数是 ．
2．点 关于 轴对称的点的坐标是 ；点 关于原点对称的点的坐标是 ．
3．若 ，则 的余角是 °， ．
4．在校园歌手大赛中，七位评委对某位歌手的打分如下：9.8，9.5，9.7，9.6，9.5，9.5，9.6，则这组数据的平均数是 ，极差是 ．
5．已知扇形的半径为2cm，面积是 ，则扇形的弧长是 cm，扇形的圆心角为 °．
6．已知一次函数 的图象经过点 ， ，则 ， ．
7．如图，已知 ， ， ， ， ，
则 °， ， ．
8．二次函数 的部分对应值如下表：

…

…

…

…
二次函数 图象的对称轴为 ， 对应的函数值 ．
二、选择题（下列各题都给出代号为A，B，C，D的四个答案，其中有且只有一个是正确的，把正确答案的代号填在题后（ ）内，每小题2分，共18分）
9．在下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
10．在函数 中，自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．下列轴对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（ ）
A．圆 B．正六边形 C．正方形 D．等边三角形
12．袋中有3个红球，2个白球，若从袋中任意摸出1个球，则摸出白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，图象（折线 ）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）
A．第3分时汽车的速度是40千米/时
B．第12分时汽车的速度是0千米/时
C．从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D．从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
14．下面各个图形是由6个大小相同的正方形组成的，其中能沿正方形的边折叠成一个正方体的是（ ）

15．小明和小莉出生于1998年12月份，他们的出生日不是同一天，但都是星期五，且小明比小莉出生早，两人出生日期之和是22，那么小莉的出生日期是（ ）
A．15号 B．16号 C．17号 D．18号
16．若二次函数 （ 为常数）的图象如下，则 的值为（ ）
A． B． C． D．

17．如图，在 中， ， ， ，经过点 且与边 相切的动圆与 分别相交于点 ，则线段 长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共2小题，共18分．解答应写出演算步骤）
18．（本小题满分10分）化简：
（1） ； （2） ．

19．（本小题满分8分）解方程：
（1） ； （2） ．

四、解答题（本大题共2小题，共12分．解答应写出证明过程）
20．（本小题满分5分）
已知，如图，在 中， 的平分线交 边于点 ．
求证： ．

21．（本小题满分7分）
已知，如图，延长 的各边，使得 ， ，顺次连接 ，得到 为等边三角形．
求证：（1） ；
（2） 为等边三角形．

五、解答题（本大题共2小题，共15分．解答应写出文字说明或演算步骤）
22．（本小题满分7分）
图1是某市2007年2月5日至14日每天最低气温的折线统计图．

（1）图2是该市2007年2月5日至14日每天最高气温的频数分布直方图，根据图1提供的信息，补全图2中频数分布直方图；
（2）在这10天中，最低气温的众数是 ，中位数是 ，方差是 ．

23．（本小题满分8分）
口袋中装有2个小球，它们分别标有数字 和 ； 口袋中装有3个小球，它们分别标有数字 ， 和 ．每个小球除数字外都相同．甲、乙两人玩游戏，从 两个口袋中随机地各取出1个小球，若两个小球上的数字之和为偶数，则甲赢；若和为奇数，则乙赢．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．

六、探究与画图（本大题共2小题，共13分）
24．（本小题满分6分）
如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．
（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为 和 ，将菱形的“接近度”定义为 ，于是， 越小，菱形越接近于正方形．
①若菱形的一个内角为 ，则该菱形的“接近度”等于 ；
②当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形．

（2）设矩形相邻两条边长分别是 和 （ ），将矩形的“接近度”定义为 ，于是 越小，矩形越接近于正方形．
你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．

25．（本小题满分7分）
已知 经过 ， ， ， 四点，一次函数 的图象是直线 ，直线 与 轴交于点 ．
（1）在右边的平面直角坐标系中画出 ，直线 与 的交点坐标为 ；
（2）若 上存在整点 （横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点），使得 为等腰三角形，所有满足条件的点 坐标为 ；
（3）将 沿 轴向右平移 个单位时， 与 相切．
七、解答题（本大题共3小题，共26分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
26．（本小题满分7分）
学校举办“迎奥运”知识竞赛，设一、二、三等奖共12名，奖品发放方案如下表：
一等奖 二等奖 三等奖
1盒福娃和1枚徽章 1盒福娃 1枚徽章
用于购买奖品的总费用不少于1000元但不超过1100元，小明在购买“福娃”和微章前，了解到如下信息：

（1）求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？
（2）若本次活动设一等奖2名，则二等奖和三等奖应各设多少名？

27．（本小题满分9分）
已知，如图，正方形 的边长为6，菱形 的三个顶点 分别在正方形 边 上， ，连接 ．
（1）当 时，求 的面积；
（2）设 ，用含 的代数式表示 的面积；
（3）判断 的面积能否等于 ，并说明理由．

28．（本小题满分10分）
已知 与 是反比例函数 图象上的两个点．
（1）求 的值；
（2）若点 ，则在反比例函数 图象上是否存在点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

常州市2007年初中毕业、升学统一考试
数学试题参考答案及评分标准
一、填空题（每个空格1分，共18分）
1． ， ， ； 2． ， ； 3． ， ； 4．9.6，0.3；
5． ， ； 6． ， ； 7． ， ， ； 8． ， ．
二、选择题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）
题号 9 10 11 12 13 14 15 16 17
答案 B C D B C C D D B
三、解答题（本大题共2题，第18题10分，第19题8分，共18分．解答应写出演算步骤）
18．解：（1）原式 3分
． 5分
（2）原式 2分
3分
4分
． 5分
19．解：（1）去分母，得 ． 1分
解得， ． 2分
经检验， 是原方程的根．
原方程的根是 ． 4分
（2） ， 2分
． 3分
， ． 4分
四、解答题（本大题共2小题，第20题5分，第21题7分，共12分．解答应写出证明过程）
21．证明： 四边形 是平行四边形， ， ．
． 1分
平分 ， ． 2分
． 3分
． 4分
又 ， ． 5分
21．证明：（1） ， ， ． 1分
是等边三角形， ． 2分
又 ， ． 4分
（2）由 ，得 ，
， 是等边三角形，
，
，同理可得 ． 5分
中， ． 6分
是等边三角形． 7分
五、解答题（第22题7分，第23题8分，共15分）
22．（1）画图正确． 2分
（2）7℃，7.5℃，2.49（℃）2（众数1分，中位数2分，方差2分）． 7分
23．解：画树状图： 或列表：

3 4 5
1 （1，3）
和为4 （1，4）
和为5 （1，5）
和为6
2 （2，3）
和为5 （2，4）
和为6 （2，5）
和为7

4分
数字之和共有6种可能情况，其中和为偶数的情况有3种，和为奇数的情况有3种．
， ， 6分
游戏对甲、乙双方是公平的． 8分
六、探究与画图（第24题6分，第25题7分，共13分）
24．解：（1）①40． 2分
②0． 4分
（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但 却不相等．合理定义方法不唯一，如定义为 ． 越小，矩形越接近于正方形； 越大，矩形与正方形的形状差异越大；当 时，矩形就变成了正方形． 6分
25．解：（1）画图， ， ． 3分
（2） ， ． 5分
（3） ． 7分
七、解答题（第26题7分，第27题9分，第28题10分，共26分）
26．解：（1）设一盒“福娃” 元，一枚徽章 元，根据题意得
2分
解得 3分
答：一盒“福娃”150元，一枚徽章15元．
（2）设二等奖 名，则三等奖 名，
5分
解得 ． 6分
是整数， ， ． 7分
答：二等奖4名，三等奖6名．
27．解：（1） 正方形 中， ， ．
又 ，因此 ，即菱形 的边长为 ．
在 和 中， ，
， ，
． ．
， ，
，即菱形 是正方形．
同理可以证明 ．
因此 ，即点 在 边上，同时可得 ，
从而 ． 2分
（2）作 ， 为垂足，连结 ，
， ，
， ．
．
在 和 中， ， ，
．
，即无论菱形 如何变化，点 到直线 的距离始终为定值2．
因此 ． 6分
（3）若 ，由 ，得 ，此时，在 中， ．
相应地，在 中， ，即点 已经不在边 上．
故不可能有 ． 9分
另法：由于点 在边 上，因此菱形的边长至少为 ，
当菱形的边长为4时，点 在 边上且满足 ，此时，当点 逐渐向右运动至点 时， 的长（即菱形的边长）将逐渐变大，最大值为 ．
此时， ，故 ．
而函数 的值随着 的增大而减小，
因此，当 时， 取得最小值为 ．
又因为 ，所以， 的面积不可能等于1． 9分
28．解：（1）由 ，得 ，因此 ． 2分
（2）如图1，作 轴， 为垂足，则 ， ， ，因此 ．
由于点 与点 的横坐标相同，因此 轴，从而 ．
当 为底时，由于过点 且平行于 的直线与双曲线只有一个公共点 ，
故不符题意． 3分
当 为底时，过点 作 的平行线，交双曲线于点 ，
过点 分别作 轴， 轴的平行线，交于点 ．
由于 ，设 ，则 ， ，
由点 ，得点 ．
因此 ，
解之得 （ 舍去），因此点 ．
此时 ，与 的长度不等，故四边形 是梯形． 5分

如图2，当 为底时，过点 作 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为 ．
由于 ，因此 ，从而 ．作 轴， 为垂足，
则 ，设 ，则 ，
由点 ，得点 ，
因此 ．
解之得 （ 舍去），因此点 ．
此时 ，与 的长度不相等，故四边形 是梯形． 7分
如图3，当过点 作 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 时，
同理可得，点 ，四边形 是梯形． 9分
综上所述，函数 图象上存在点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形，点 的坐标为： 或 或 ． 10分

哎~~~现在的中考题也难了~~相当年我初中也是数学王子啊~~