为什么正多面体的分类只有五种

2024-11-07 21:33:49

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回答（1）：

仅有的五种正多面体，即是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。

所谓正多面体，当然要首先保证它是一个多面体，而它的特殊之处就在于它的每一个面都是正多边形，而且各个面的正多边形都是全等的。

也就是说，将正多面体的各个面剪下来，它们可以完全重合。虽然多面体的家族很庞大．可是正多面体的成员却很少，仅有五个。

设正多面体每个顶点有m条棱，每个面都是正n边形，多面体的顶点数是V，面数是F，棱数是E。因为两个相邻面有一公共棱，所以

因为两个相邻顶点有一公共棱，所以

又因多面体的Euler定理，得V+F-E=2，从上面三式可得

要使得上面的式子成立，必须满足2m+2n-mn>0，即1/m+1/n>1/2。因为m≥3，所以

于是n<6。

当n=3时，m<6，所以m能取的值是3、4、5；

当n=4时，m<4，所以m能取的值是3；

当n=5时，m<10/3，所以m能取的值是3。

当n=3，m=3时，V=4，F=4，E=6；当n=3，m=4时，V=6，F=8，E=12；当n=3，m=5时，V=12，F=20，E=30；当n=4，m=3时，V=8，F=6，E=12；当n=5，m=3时，V=20，F=12，E=30；所以正多面体只有上述五种。

扩展资料：

一、正多面体性质

1、如果两个正多面体是同类型的正多面体，那么这两个正多面体的二面角都相。

2、正多面体的外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合。

3、正多面体的外心、内心、内棱心重合的点称为该正多面体的中心。

4、正多面体除正四面体外过任顶点和正多面体中心的直线必然经过正多面体的另一顶点，并且这两个顶点到正多面体中心的距离都相等。

5、除正四面体外，连线经过正多面体的f11心的两点称为相财顶点，连两双相对顶点的两条棱称为正多面体的对棱，由对棱围成的两个面称为正多面体的对面。

6、除正四面体外，正多面体的对棱、对面都平行。

二、正多面体的各种参数

参考资料：

百度百科-正多面体

回答（2）：

正多面体只能有五种，用正三角形做面的正四面体、正八面体，正二十面体，用正方形做面的正六面体，用正五边形做面的正十二面体。

证明　　顶点数V，面数F，棱数E

　　设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条棱），即

　　nF=2E -------------- ①

　　同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即

正多面体

　　mV=2E -------------- ②

　　由①、②，得

　　F=2E/n, V=2E/m,

　　代入欧拉公式V+F-E=2，

　　有

　　2E/m+2E/n-E=2

　　整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.

　　由于E是正整数，所以1/E>0。因此

正多面体

　　1/m+1/n>1/2 -------------- ③

　　说明m,n不能同时大于3，否则1/m+1/n<1/2，即

　　③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m≥3且n≥3。因此m和n至少有一个等于3

　　当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5

　　同理n=3，m也只能是3，4，5

　　所以有以下几种情况：n m 类型

　　3 3 正四面体

　　4 3 正六面体

正多面体

　　3 4 正八面体

　　5 3 正十二面体

　　3 5 正二十面体

　　由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体

　　所以正多面体只有5种

　　相同表面积的四面体、六面体、正十二面体、以及正二十面体，其中体积最大的

正多面体

是：正二十面体。

　　或者这么证明：

　　假设每个顶点由m个正n边形组成，由于每个顶点的角度必须小于360度，否则就成了平面了，可得：

　　m*（1-2/n）*180<360→m*(n-2)<2n→mn-2m-2n<0→mn-2m-2n+4<4→(m-2)(n-2)<4→m，n组合为：3，3；3，4；3，5；4，3；5，3几种

回答（3）：

另外一个角度的通俗解答（好理解，但证明不严格）：
设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点是m条棱，即相邻m个n边形。
正n边形的顶角角度为180(n-2)/n，
正多面体每个顶点可能的角度之和为m×180(n-2)/n<360°，（=360°将成为一个平面），
因为m、n均一定≥3，
正3边形，顶角为60°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3、4、5，
正4边形，顶角为90°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3，
正5边形，顶角为108°，由其构成正多面体每个顶点可能的m为3，
正6边形，顶角为120°，不可能有由正n边形（n≥6）构成正多面体，
综上所述，正多面体构成的可能性只有以上5种。
n m 类型
3 3 正四面体
3 4 正八面体
3 5 正二十面体
4 3 正六面体
5 3 正十二面体
由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
所以正多面体只有5种，而没有更多。