这道求极限题里面为什么不能直接等价无穷小

2024-11-16 10:55:29

推荐回答（4个）

回答（1）：

一般相乘除无穷小量可以直接进行替换的，相加减时要谨慎使用替换，如果减数和被减数都是等价无穷小量，就不能替换，如果不是等价无穷小量，可以进行替换，在这里sin（sinx）与x是等价无穷小量，所以就不等替换。结果是-1/3，你换了求出来的就变为-1/6，错误原因就是减数和被减数是同阶无穷小量时替换的。

回答（2）：

无穷小代换会损失一个精度，一个函数如sinx的泰勒级数都可以看着sinx的等价无穷小，截至到不同的次数对应的精度不一样。不可以代换一般都是代换精度不够
例如sinx ~ x代换不行，sinx ~ x -x^3/6也许就可以了，如果你看不出来，只能尝试更高精度

回答（3）：

x→0lim[sin(sinx)-x]/x³]【0/0型】
=x→0lim[cos(sinx)•cosx-1]/(3x²)]【0/0型】
=x→0lim[-sin(sinx)cos²x-cos(sinx)sinx]/6x【0/0型】
=x→0lim[-cos(sinx)cos³x+sin(sinx)•2cosxsinx+sin(sinx)cosxsinx-cos(sinx)cosx]/6
=(-1-1)/6=-1/3;
注：用你自己写的办法作，不能说不对，只是精度差一点。

回答（4）：

等价无穷小代换可用于乘除运算，一般不能用于加减运算。
典型例子：
lim(tanx-sinx)/x^3 ≠ lim(x-x)/x^3 = 0
而是 lim(tanx-sinx)/x^3 = limtanx(1-cosx)/x^3
= limx · (1/2)x^2/x^3 = 1/2