矩阵的正定性的性质及应用

一． 定义

因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:

设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。

相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：

令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。

例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。

二． 正定矩阵的一些判别方法

由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：

1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

证明：若 ， 则有

∴λ＞0

反之，必存在U使

即

有
这就证明了A正定。

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。

2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

证明：A正定

二次型 正定

A的正惯性指数为n

3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。

证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使

令 则
令 则
反之，
∴A正定。

同理可证A为半正定时的情况。

4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。

证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定

∴ 是正定二次型

现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有
∴
∴A正定

∴存在可逆矩阵C ，使

5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。

证明：必要性：

设二次型 是正定的

对每个k,k=1,2,…,n,令

，

现证 是一个k元二次型。

∵对任意k个不全为零的实数 ，有
∴ 是正定的

∴ 的矩阵

是正定矩阵

即
即A的顺序主子式全大于零。

充分性：

对n作数学归纳法

当n=1时，
∵ ， 显然 是正定的。

假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。

令 ， ，

∴A可分块写成
∵A的顺序主子式全大于零

∴ 的顺序主子式也全大于零

由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使
令
∴
再令 ，

有
令 ，

就有
两边取行列式，则
由条件 得a＞0

显然
即A合同于E ，

∴A是正定的。

三． 负定矩阵的一些判别方法

1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足

，

即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。

由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。

四．半正定矩阵的一些判别方法

1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。

2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。

3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。

注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如：

矩阵 的顺序主子式 ， ， ，

但A并不是半正定的。

关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。