求级数(-1)^n⼀(2n+1)的和

π/4。

解：设f(x)=∑((-1)^n/(2n+1))x^(2n+1)，则：f‘(x)=∑((-x^2)^n=1/(1+x^2)，( |x|<1)。

所以：f(x)=arctanx ，当x=±1时，级数是交错级数，仍然收敛，故f(x)=arctanx，（|x|≤1)。

令x=1得：∑((-1)^n/(2n+1)=f(1)=arctan1=π/4。

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

(-1)^n/(2n+1)=(-1)^n*(1)^(2n+1)/(2n+1)
令S(x)=∑(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)
S'(x)=(∑(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1))'=∑[(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)]'=∑(-1)^n*x^2n=(-x^2)^n
=1/(1+x^2) （等比数列求和）
所以S(x)= ∫ 1/(1+x^2)dx=arctanx
所以(-1)^n/(2n+1)=S(1)=arctan1=π/4

我算的是n=0到n=∞

我们认为n从0到无穷大

解：设f(x)=∑((-1)^n/(2n+1))x^(2n+1)，则：f‘(x)=∑((-x^2)^n=1/(1+x^2)，( |x|<1)
所以：f(x)=arctanx ，当x=±1时，级数是交错级数，仍然收敛，故f(x)=arctanx，（|x|《1)
令x=1得：∑((-1)^n/(2n+1)=f(1)=arctan1=π/4

电脑mathematica算的1/4 (-4 +Pi)