58问答库 > n阶实对称矩阵A满足A^2=A,r(A)=r<n,证明A可表示为A=UU^T,其中U为n×r,U^

n阶实对称矩阵A满足A^2=A,r(A)=r<n,证明A可表示为A=UU^T,其中U为n×r,U^

2025-03-28 11:56:49

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回答（1）：

实际上，对于任意半正定实对称矩阵A（r（A）=r），都存在nxr阶矩阵U，使得A=UU^T：
因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵P，使得A=PDP^T，其中D=diag｛m1，…，mr，0，…，0｝（其中mi为A的正特征值）记B=diag｛√m1，…，√mr｝，取U^T=（B 0）P^T，则UU^T=PDP^T=A
所以对本题，由A^2=A可得A的特征值只有1（r重）、0，从而取U^T=（Er 0）P^T即可

回答（2）：

因为a*a=a，所以a(a-e)=0;故a-e的每个列向量都是方程
ax=0的解，由于a-e中的列向量未必构成解空间的基，所以r(a)+r(a-e)小于等于n；
又由r(a)+r(b)>=r(a+b)；立刻可得r(a)+r(a-e)=r(a)+r(e-a)>=r(a+e-a)=r(e)=n;所以r(a)+r(a-e)=n.