求下列幂级数的和函数 ∑(n=1,∞) x^n⼀n(n+1),详细点

设S(x)=∑(x^n)/[n(n+1)]，n=1,2，……，∞，显然，S(0)=0。

∵x∈[-1,1）时，ln(1-x)=-∑(x^n)/n

∴∑(x^n)/n=-ln(1-x)

又，1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)

∴S(x)=-∑(x^n)[1/n-1/(n+1)]=-∑(x^n)/n+∑(x^n)/(n+1)]

∴当x≠0时，S(x)=ln(1-x)-(1/x)[ln(1-x)+x]=(1-1/x)ln(1-x)+1

而x=1时，∑1/[n(n+1)]=1，收敛。

故，综上所述，x∈[-1,1]时，∑(x^n)/[n(n+1)]收敛。

且x=0时，∑(x^n)/[n(n+1)]=0；x≠0时，∑(x^n)/[n(n+1)]=(1-1/x)ln(1-x)+1。

对于收敛域上的每一个数x，函数项级数都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。因此，在收敛域上函数项级数的和是x的函数。

扩展资料：

从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

正项级数代表着收敛性最简单的情形。在这种情形，级数级数的部分和 sm=u1+u2+…+um随着m单调增长，等价于级数的一般项un≥0(因此，有时也称为非负项级数)。于是级数(∑un)收敛等价于部分和(sm)有界。项越小，部分和就越倾向于有界。

分享一种解法。设S(x)=∑(x^n)/[n(n+1)]，n=1,2，……，∞。显然，S(0)=0。
∵x∈[-1,1）时，ln(1-x)=-∑(x^n)/n，∴∑(x^n)/n=-ln(1-x)。
又，1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)，∴S(x)=-∑(x^n)[1/n-1/(n+1)]=-∑(x^n)/n+∑(x^n)/(n+1)]。
∴当x≠0时，S(x)=ln(1-x)-(1/x)[ln(1-x)+x]=(1-1/x)ln(1-x)+1。
而，x=1时，∑1/[n(n+1)]=1，收敛。
故，综上所述，x∈[-1,1]时，∑(x^n)/[n(n+1)]收敛。且x=0时，∑(x^n)/[n(n+1)]=0；x≠0时，∑(x^n)/[n(n+1)]=(1-1/x)ln(1-x)+1。
供参考。

简单计算一下即可，答案如图所示

如下图，字不好看，但过程足够详细。