子向量组的秩不会超过整个向量组的秩，因此max{r1,r2}<=r3。取第一个向量组的一个极大无关组，不妨设为a1,a2,。。。，ar1取第二个向量组的一个极大无关组，不妨设为β1，β2，。。。，βr2，则第三个向量组可由向量组a1,a2,。。。，ar1，β1，β2，。。。，βr2线性表出，因此r3<=上面向量组的秩<=r1+r2.
