前面面试的公司的人力资源部的今天给我打电话说要给我目前想离职的公司打电话,他说:让我考虑什么时候打?

这个问题没你想的那么复杂。他让你考虑什么时候打，主要是怕唐突的打过去，对方没有时间，因为他不了解你之前领导的工作习惯和忙碌程度，因此想征求你的意见，看什么时间打，你的前领导不忙，能够方便接听电话。你只要给你的前领导打电话询问时间，然后告诉人力资源部门就可以了。
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PS：看了你的补充，对方是出于好意给你的提醒。所以你可以建议他在你办理离职之后在打过去。

其实只要你自己跟你们单位提出了辞职申请，你的上级、人力资源部知道你离职的事了，那么就可以打了。
你跟你目前的公司说你要离职了吗？如果说了，就可以跟面试的公司确定一个时间了。
如果没说呢，先提出辞职，或者先跟面试公司说过两天提出辞职后打。

是不是就是确认简历信息真伪的流程？人家都明确告诉你，要你“想好后”，不就是给你机会摆平好电话联系人，那样走过场就没问题了。

背景调查啊，哈哈，很多公司都这样做，但是不会咨询当事人什么时间。一般应聘的时候会让你留下原单位领导的电话。我觉得很简单，你找个跟你关系比较好的hr或者你的领导、同事，跟他们说明情况，约个时间，让现在应聘的这家公司打过来就行。