证明：任何9人中总有3人互相认识，或4人互相不认识。

证明:

首先证明如下命题:
任何6人中总有3人互相认识，或3人互相不认识。
证明命题:
假设命题不成立.
在六人中选取一人出来,设为:A
则,在剩下5人中,A不能认识他们中超过2个人.
否则,如果A认识3个人,那么根据假设他们之间必然相互不认识.这与假设矛盾.
另一方面,他们中A不认识的不能超过2个人.
否则,如果三个人都不认识A,那么他们之间必然两两认识.
这与假设矛盾.
总共5人,A不认识和认识的和得小于等于4人,矛盾.
所以命题得证明.

再回到原来命题的证明.
假设命题成立.
在九人中选取一人,
剩下的8人中.
A不能认识他们中超过3个人.
理由如上.
另一方面:
他们中A不认识的不能超过5个人.
否则,如果有6人不认识A
根据上面命题,他们中有三人相互不认识,加上A则有四人相互不认识,矛盾.

所以8个人中,A至少认识3个,最多认识3个,只能认识
3个
所以对于每个人来说,都认识其余八人中的三人.
考虑,9个人组成一个图,认识关系为边.
则该图每个点的度为3
总度数为:9*3=27是奇数,因为总度数等于边数2倍.
所以矛盾!
所以原命题得证.

如果3人互相认识

假设为A,B,C
D,E,F
MNW
中三人互相认识
若ABC认识，DEF认识
再AEF，AMN认识，则BCEN或者BCEW，BCFN，BCFW不认识