∫∫(ax+by+cz+d)^2dS,其中S是球面x^2+y^2+z^2=R^2

2024-12-02 05:31:43
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被积函数=a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+d^2+2abxy+2acxz+2adx+2bcyz+2bdy+2cdz,
由对称性,除了平方项外,其余的项的积分都是0。
另外,由对称性有 曲面积分(x^2)dS=曲面积分(y^2)dS=曲面积分(z^2)dS
=1/3*曲面积分(x^2+y^2+z^2)dS
=1/3*曲面积分(R^2)dS
=4pi*R^4/3。
因此原积分值为
4pi*R^4*(a^2+b^2+c^2)/3+4pi*R^2*d^2。