数学家高斯的一个小故事

德国著名大科学家高斯(1777～1855)出生在一个贫穷的家庭。高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。

长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。数学家们则称呼他为“数学王子”。

他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。

这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。

“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。

教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。

还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“老师，答案是不是这样？”

老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：“去，回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有答案了。

可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。”

数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？

高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。

高斯做出正十七边形的故事
高斯（Karl Friedrich Gauss，1777～1855），德国数学家、物理学家和天文学家。出身于德国布伦兹威克一个贫苦的工匠家庭。7岁上学，14岁时得到当地费迪南德公爵的慷慨资助进入卡洛琳学院学习，18岁时进入格丁根大学学习，后转入海尔姆斯台特大学学习。22岁时获博士学位。1820年转向研究大地测量。1831年后又进行物理学研究。1802年被俄国彼得堡科学院选为通讯院士、喀山大学教授。1807年被聘为格丁根大学天文学教授和天文台台长。1817年丹麦政府任命他为科学顾问，同年德国汉诺威政府也聘请他担任政府科学顾问。

“在数学世界里，高斯处处留芳。”在算术、数论和代数领域，他证明了代数基本定理，并于1801年出版了《算术研究》。在微分几何领域，1827年他发表了《关于曲面的一般研究》。在复变函数、势理论和概率统计学领域，他也作出了许多贡献。他在椭圆函数和非欧几何方面做了许多开创性的工作。在天文学方面，1801年他创造了一种计算轨道分量的方法并用它准确地确定了小行星谷神星的轨道。1809年他出版了《天体运动理论》一书。在物理学方面，他与韦伯合作对理论磁学与实验磁学作出了贡献。高斯一生共发表了178篇科学论文。

高斯从小天资聪敏，具有非凡的计算才能。他3岁时就能纠正父亲计算工钱时的错误，10岁时就能独立地用等差级数求和的方法计算出 81297+81495+81693+……+100899之和。老师刚刚将题目在黑板上写完，高斯已将答案算出。在老师的关怀下，他经常钻研数学，通晓许多初等数学的著作。

高斯钻研书本，但不拘泥于书本。11岁时他就发现了书本中关于“二项式定理”的证明不够严谨。在卡洛琳学院和大学学习期间，高斯攻读了牛顿、拉格朗日、欧拉等数学家的著作。他学习大师，但不迷信大师。他敢于怀疑任何约定俗成的东西，在研究数学问题时善于提出一些新概念、新方法和新理论。

高斯的学术生涯历经18世纪末至19世纪上半叶。从数学史上来看，他是从18世纪到19世纪的过渡人物。他的数学研究的选题大多数是古典的，但他的研究方法在本质上却是现代的。他既可以被看作是最后一位卓越的经典数学家，又可以被看作是第一位现代数学家。在数学领域的许多方面他都处于一种继往开来的地位。

善于提出新概念和新方法

高斯在研究复数和复变函数时，引进了复数几何表示的新方法。复数的几何表示虽然最初出于挪威测量学家威塞尔和瑞士会计阿盖德之手，但高斯的方法更通俗。他用复平面上的一个点来表示一个复数，即用形如坐标（a，b）的数偶来代替或表示 a+ bi。在此基础上，他用数偶的运算来表示复数的加、减、乘、除等运算。这种新的方法在当时对赋予复数及其运算以真正可接受的数学意义具有重要价值。因为当时人们对于分数、负数乃至实数都能直观地理解和接受，但对于复数却普遍地感到接受不了。对许多人来说，复数不过是一种符号游戏。当复数的几何表示法引进之后，人们便清楚地看到“复数的直观意义已经完全建立起来，并且不需要再增加什么就可以在算术领域中采用这些量”。这样，高斯就使复数成为一个人们完全能够接受的真正的数学概念。“复数”这个术语也是高斯引进的，用以与“虚数”作一定的区别，并用I

高斯（用圆规和直尺）正17边形做法 - 金使尔康 - 密码耶稣

本定理”即“每一个多项式方程至少有一个复数根”）。这个定理的证明一直是代数学上数学家们追逐的重要目标。达朗贝尔和欧拉在这个问题上都作过不懈努力，但其证明实际上是不完全的。高斯的方法不是去计算一个根，而是去证明它的存在。他指出 p（x+iy）=0的复根 a+bi相应于复平面上的点（a，b），如果 p（x+ iy）=u（x，y）+iv（x，y），那末（a，b）必定是曲线u=0和v=0的交点。通过对这些曲线作定性的研究，他证明了一条曲线上的一段连续弧连结着两个不同区域上的点，而这两个区域是由另一条曲线隔开的。所以曲线u=0与曲线v=0相交。这个论证具有高

度的创造性。而且他开创了数学研究中非构造存在性证明方法的先河。在复数的基础上，高斯进一步研究了复变函数。1811年他提出了考察积分限为复数的必要性问题。在这方面他还发现了复变函数积分的一条重要定理，即复解析函数沿闭曲线（其中不包含奇点）的积分为零。后来这条命题为柯西所证明，被称为柯西定理。

高斯在数论研究中使用新概念和新方法更为明显。从历史上来看，直到高斯之前，数论还只是一系列孤立结果的堆积。高斯在1801年出版的《算术研究》开创了数论研究的新纪元。在这部书中，他将符号标准化，把现存的定理系统化和一般化，把要研究的问题和方法也进行了分类，并引进了一些新的概念和方法，如“同余”的概念和方法、“代数数”的概念以及“型”的思想。《算术研究》不仅是现代数论的开始，而且还确定了这一分支的研究方向。直到目前为止，许多数学家还继续在这些方向上进行研究，例如现代数论中的同余理论。

“同余”的概念最早出现在欧拉等人的著作中，但在数论中引进同余的符号、系统应用这个概念的人却是高斯。一般来说，当a、b、m是整数时，如果a和b被m除时具有相同的余数，那末就称 b与a对模m同余。例如16和23除以7，余数都为2，因此它们对模7同余。高斯在《算术研究》中用同余式的术语给出了对费尔马小定理的一个证明。他还用同余作为工具去证明了“二次互反律”。他曾把它誉为算术中的宝石。他首先定义一个“二次余数”：设m为一正整数，a为与m无公因子的一个整数，若a与一个完全平方数对模m同余，则a是m的二次余数。然后高斯证明了如果p与q为不同的奇素数，则p是q的二次余数的充分必要条件为：q是p的二次余数。这一定理曾对近世代数若干深奥概念的理解有所启发，对整个数论和数学的其他分支都有重大影响，因此高斯一生中曾用8种不同的方法来证明它。后来数学家又给出了50种以上的其他证明。

1796年高斯找到了用圆规和直尺作正17边形的方法，并对此作了证明。该方法也具有创新意义。这个问题本身难度很高。早在古希腊人那里，欧几里得虽然指出了用圆规直尺可以画出正3边形、正4边形、正5边形和正15边形，以及反复二等分这些边所求得的正多边形。但是他们对于正7、9、11、13、14、17边形的作图问题却束手无策。正17边形能否作图的问题2000年来早已成为著名的数学难题。高斯成功地找到了只用圆规和直尺将其画出的方法，并用代数方法构思了它的证明。他指出，作一个正17边形相当于解方程x16+x15+…+x+1=0。因为17是素数，16是2的4次方，所以此方程可简化为一串二次方程ax2+bx+c=0，其中a，b，c为已知数。因为人们早已证明用圆规和直尺作图法可以求解二次方程，于是正17边形可用圆规和直尺作出的问题便得以证明。高斯实际上是把一个几何学领域中的问题移入到代数学领域中去解决，这种方法为以后的数学家所模仿。高斯后来进一步考察了形如xp-1=0的方程得出正多边形作图的更一般结果，其中p是素数。他指出，如果p-1没有异于2的因子，则正p边形可用圆规和直尺作出。因此，正3、5、17、257等多边形是可以用圆规和直尺作图的，而正7、9、11、14边形是不能用圆规和直尺作图的。

善于提出新思想和新理论

高斯善于提出新思想和新理论，这在他的微分几何和非欧几何的工作中表现得格外突出。

微分几何的工作是由欧拉等数学家奠基的，它在高斯的工作中得到了突破性的进展。从1816年起，高斯参与了丹麦和德国汉诺威的大地测量工作，夏季到野外测绘，冬季对数据进行整理分析，历时10年。他在大地测量、地图绘制方面颇有建树，并作出了几项重大发明。他曾致力于利用实际大地测量数据来确定地球形状，由此激起了他从理论角度进行探讨的兴趣。1823年他撰写了论文“将给定凸面投影到另一面而使最小部分保持相似的一般方法”，获丹麦哥本哈根科学院一等奖。此论文在数学史上首次对保形映射作了一般性的论述，建立了等距映射的雏形。1827年，高斯写成《关于曲面的一般研究》，这是他十多年思考测地问题所得之精萃。

在这本书中，高斯推广了前人关于平面曲线曲率的概念，定义了一个曲面在曲面上一点处的曲率k。然后他证明了曲率k完全与曲面是否在三维空间中或曲面在三维空间中的形态无关。因此当曲面无伸缩地弯曲时，曲面的所有性质都保持不变。于是，高斯指出，一张曲面本身就是一个空间。这在几何史上是一个全新的重要思想，它标志着以曲面为研究对象的微分几何的创立。

在数学史上，高斯第一个认识到欧几里得几何并非是描述自然界空间的唯一几何，并非是人类思想所固有的几何；同时也第一个认识到非欧几何存在的可能性。1799年他在给博耶的信中说：“至于我，已在自己的工作中取得一些进展。然而，我选择的道路决不能导致我们寻求的目标（平行公理的推导），而你让我确信你已达到。这似乎反而迫使我怀疑几何本身的真理性。诚然，我所得到的许多东西，在大多数人看来都可以认为是一种证明；而在我眼中它却什么也没有证明。例如，如果我们能够证明可以存在一个直角三角形，它的面积大于任何给定面积的话，那么我就立即能绝对严密地证明全部（欧几里得）几何。”“大多数人肯定会把这个当作公理；但是我不！实际上，三角形的3个顶点无论取多远，它的面积可能永远小于一定的极限。”

从1813年起高斯发展了他的新几何学思想，最初他称之为“反欧几里得几何”，后称之为“星空几何”，最后称之为“非欧几里得几何”。他深信这种新几何在逻辑上是相容的。1817年他在给奥尔伯斯的信中说：“我愈来愈深信我们不能证明我们的几何具有必然性，至少不能用人类理智，也不能给予人类理智以这种证明。”1824年高斯在给陶里努斯的信中说：“由三角形的内角和小于180°的假设可导出一种奇异的几何，它跟欧几里得几何大相径庭，但其本身却是相容的。”高斯接着说此类几何由某一常数所确定，“这常数越大，这几何就越接近欧氏几何，当它变成无穷大时，两种几何就一致了。”

高斯虽然没有对非欧几何的理论体系作过完整的推导，但他为了检验他的非欧几何，曾实地测量了由白劳肯等3座山峰构成的三角形内角之和。但由于实验误差太大而没有达到预期的效果。但这件事情本身说明了高斯确信这种非欧几何是可以用事实来检验的。

高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：
1+2+3+ ..... +97+98+99+100 = ?
老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被 高斯叫住了！！ 原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？
高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加，也就是说：
1+2+3+4+ ..... +96+97+98+99+100
100+99+98+97+96+ ..... +4+3+2+1
=101+101+101+ ..... +101+101+101+101
共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050>
从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以后的数学基础，更让他成为——数学天才！