58问答库 > 让f,g,h 函数在开区间(a,b)包含,x0, 除了在x0上的可能性,假设f(x)≤g(x)≤h(x)对于所有x∈(a,b)除了x0

让f,g,h 函数在开区间(a,b)包含,x0, 除了在x0上的可能性,假设f(x)≤g(x)≤h(x)对于所有x∈(a,b)除了x0

2024-11-08 17:50:20

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回答（1）：

这实际上就是证明函数极限的唯一性。我们采用反证法。
假设lim g(x)≠lim h(x) (x趋向于无穷大或者x0均可)，记lim g(x)=a,lim h(x)=b,a≠b，
根据题意，有lim f(x)=a,且lim f(x)=b, （方便书写，这里讨论x在以x0为中心，l为半径的去心领域中的情况）
根据极限定义，有当x在以x0为中心，l为半径的去心领域中时，对于任意给定的正数z，均有
1.-z＜f(x)-a＜z
2.-z＜f(x)-b＜z
取z=(a-b)/2,两式可以化简成
1.(a+b)/2＜f(x)＜(3a-b)/2
2.(3a-b)/2＜f(x)＜(a+b)/2
不论(a+b)/2和(3a-b)/2大小关系如何，两式都不可能同时成立。因此lim f(x)若存在，则必有唯一性。
命题得证。