已知函数 f(x)=x- 1 x （x＞0）；（Ⅰ）试判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明；（

2024-11-25 05:17:16

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回答（1）：

（I）f（x）为单调增函数，
证明：设x₁ ＞x₂ ＞0，则
f( x 1 )-f( x 2 )= x 1 -

x 1

- x 2 +

x 2

= ( x 1 - x 2 )(1+

x 1 x 2

)
∵x₁ ＞x₂ ＞0
∴ x 1 - x 2 ＞0，1+

x 1 x 2

＞0
∴f（x₁ ）-f（x₂ ）＞0
∴f（x）为单调增函数；
（ II）∵-m² +2m+3=-（m-1）² +4≤4，|m|+5≥5
∴-m² +2m+3＜|m|+5
∵f（x）为单调增函数；
∴f（-m² +2m+3）＜f（|m|+5）