第一章 高中数学解题基本方法
配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。
Ⅰ、再现性题组：
1. 在正项等比数列{a}中，aa+2aa+aa=25，则 a＋a＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A.
3. 已知sinα＋cosα＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函数y＝log (－2x＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, ] B. [,+∞) C. (－,] D. [,3)
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则实数a＝_____。
【简解】 1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方（a＋a）易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B。
3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题：答案3－。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：。
长方体所求对角线长为：＝＝＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围。
【解】方程x＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
()+()＝＝＝＝≤7， 解得k≤－或k≥ 。
又 ∵p、q为方程x＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2
综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
例3. 设非零复数a、b满足a＋ab＋b=0，求()＋() 。
【分析】 对已知式可以联想：变形为()＋()＋1＝0，则＝ω （ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)＝ab 。则代入所求式即得。
【解】由a＋ab＋b=0变形得：()＋()＋1＝0 ，
设ω＝，则ω＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：＝，ω＝＝1。
又由a＋ab＋b=0变形得：(a＋b)＝ab ，
所以 ()＋()＝()＋()＝()＋()＝ω＋＝2 。
【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。
【另解】由a＋ab＋b＝0变形得：()＋()＋1＝0 ，解出＝后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式()＋()后，完成后面的运算。此方法用于只是未联想到ω时进行解题。
假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。
Ⅲ、巩固性题组：
函数y＝(x－a)＋(x－b) （a、b为常数）的最小值为_____。
A. 8 B. C. D.最小值不存在
α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的两实根，则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
A. － B. 8 C. 18 D.不存在
已知x、y∈R，且满足x＋3y－1＝0，则函数t＝2＋8有_____。
A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值
椭圆x－2ax＋3y＋a－6＝0的一个焦点在直线x＋y＋4＝0上，则a＝_____。
A. 2 B. －6 C. －2或－6 D. 2或6
化简：2＋的结果是_____。
A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4
6. 设F和F为双曲线－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠FPF＝90°，则△FPF的面积是_________。
7. 若x>－1，则f(x)＝x＋2x＋的最小值为___________。
8. 已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考题)
9. 设二次函数f(x)＝Ax＋Bx＋C，给定m、n（m
② 是否存在一个实数t，使当t∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t的取值范围。
10. 设s>1，t>1，m∈R，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),
将y表示为x的函数y＝f(x)，并求出f(x)的定义域；
若关于x的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m的取值范围。
二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x＋1)＝log(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。
4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
5.方程＝3的解是_______________。
6.不等式log(2－1) ·log(2－2)〈2的解集是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；
2小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log4]；
3小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；
4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
6小题：设log(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2
例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求＋的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。
【解】设代入①式得： 4S－5S·sinαcosα＝5
解得 S＝ ；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴ ≤≤
∴ ＋＝＋＝＝
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。
【另解】 由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，
则xy＝±代入①式得：4S±5=5，
移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。
∴ 39S－160S＋100≤0 解得：≤S≤
∴ ＋＝＋＝＝
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值。
例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全国理）
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ，再代入可求cosα即cos。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,
由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：＋＝＋＝＋＝＝＝－2,
解得：cosα＝， 即：cos＝。
【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－
＝－2，设＝－＋m，＝－－m ，
所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：
cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，
cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，
即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝。
【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－＝－2，即cosA＋cosC＝－2cosAcosC，和积互化得：
2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－cos(A-C)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,
解得：cos＝
y , , － x
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。
【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-,]
t＝-时，取最小值：－2a－2a－
当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－ ；
当0<2a≤时，t＝2a，取最大值： 。
∴ f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为。
【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
例4. 设对所于有实数x，不等式xlog＋2x log＋log>0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）
【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。
【解】 设log＝t，则log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，
代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实数x恒成立，所以：
，解得 ∴ t<0即log<0
0<<1，解得0
例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。
【解】 设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得： ＋＝＝ 即：＋＝
设＝t，则t＋＝ , 解得：t＝3或 ∴＝±或±
【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0，
∴t＝3或， 解得＝±或±。
【注】 第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋b＝1有相似之处，于是实施三角换元。
【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ，
即： 代入不等式x＋y－k>0得：
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有关问题时，经常使用“三角换元法”。
y x x＋y－k>0
k 平面区域
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式ax＋by＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，方程组有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。
Ⅲ、巩固性题组：
已知f(x)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4
函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
设等差数列{a}的公差d＝，且S＝145，则a＋a＋a＋……＋a的值为_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。
已知a≥0，b≥0，a＋b＝1，则＋的范围是____________。
不等式>ax＋的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
函数y＝2x＋的值域是________________。
在等比数列{a}中，a＋a＋…＋a＝2，a＋a＋…＋a＝12，求a＋a＋…＋a。
y D C A B O x
实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线x＋y＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。
三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
利用对应系数相等列方程；
由恒等的概念用数值代入法列方程；
利用定义本身的属性列方程；
利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组：
设f(x)＝＋m，f(x)的反函数f(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A. , －2 B. － ， 2 C. , 2 D. － ，－2
二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
在(1－x)（1＋x）的展开式中，x的系数是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为，最小值为－，则y＝－4asin3bx的最小正周期是_____。
与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。
与双曲线x－＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是____________。
【简解】1小题：由f(x)＝＋m求出f(x)＝2x－2m，比较系数易求，选C；
2小题：由不等式解集(－,)，可知－、是方程ax＋bx＋2＝0的两根，代入两根，列出关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D；
3小题：分析x的系数由C与(－1)C两项组成，相加后得x的系数，选D；
4小题：由已知最大值和最小值列出a、b的方程组求出a、b的值，再代入求得答案；
5小题：设直线L’方程2x＋3y＋c＝0，点A(1,-4)代入求得C＝10，即得2x＋3y＋10＝0；
6小题：设双曲线方程x－＝λ，点(2,2)代入求得λ＝3，即得方程－＝1。
Ⅱ、示范性题组：
已知函数y＝的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。
【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。
【解】 函数式变形为： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得y－m≠0
∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7是方程y－(m＋n)y＋(mn－12)＝0的两根，
代入两根得： 解得：或
∴ y＝或者y＝
此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即y－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：，解出m、n而求得函数式y。
【注】 在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。
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