第三章 高考热点问题和解题策略
数学高考坚持以“两个有利”（有利高校选拔新生、有利中学教学）为指导思想，严格遵循“考试说明”的规定，内容上不超纲，能力上不超规定层次（了解、理解和掌握、灵活和综合运用），在考查三基（基础知识、基本技能、基本技巧）和四种能力（逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力）的同时，侧重考查教材中的主要内容、数学思想方法和应用意识，特别是突出考查数学学科的思维能力。
函数平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为幂、指、对及一般函数的概念、定义域、值域、反函数；函数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性；函数的图像等。
三角函数平均每年占高考总分的12.6％，考查的知识背景是三角函数的概念、性质、以及有关公式的应用，以常规题居多。
解（证）不等式平均每年占高考总分的11.2％，考查的知识背景为不等式的性质、定理；立几、数列中的最值问题以及解几中的范围问题。
数列、极限和数学归纳法平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为等差（比）数列的概念与计算公式；数列、极限的概念与求法。
线面间的位置关系平均每年占高考总分的11.8％，考查的知识背景为线面间的平行、垂直性质与判定及有关概念。每年均为阅读理解型试题。
圆锥曲线平均每年占高考总分的11.7％，考查的知识背景为圆锥曲线的定义、性质及解几中的基本数学思想方法。
1993年—1999年高考试题中，常用的数学方法几乎每年考到，常用的数学思想方法考查的频率明显提高，探索性能力题年年考，对应用性问题的考查力度不断加大，阅读理解能力多题渗透。
今年高考命题，选择题继续保持14个题题量，仍分为1-5题，每题4分，6-14题每题5分，但适当降低最后2-3题的难度，控制语言的抽象水平。填空题保持1997-1999年水平，共4个题左右，每题4分，难度仍将为中等题，以计算题为主，且计算量仍不会加大。相比99年高考，2000高考将适当降低试卷的难度，进一步加强对思维能力考查。
进一步注重通性通法的考查，继续突出主体内容（函数、方程、不等式、数列和圆锥曲线等），淡化某些不宜升温的知识（递推数列、复数和立体几何等），做好向新高中教材过渡的准备。
应用题将适当控制对建模能力难度的考查，减少普通语言转译为数学语言的难度，既注意贴近生活，又注意靠近课本。探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度，如数列综合题仍以归纳猜想为主要形式。
一、应用问题
应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力，这个要求分解为三个要点：
1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验。
2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流。
3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来求解。
对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答。可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
求解应用题的一般步骤是（四步法）：
1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。
在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等。
Ⅰ、再性性题组：
1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成______。(94年全国高考)
A. 511个 B. 512个 C. 1023个 D. 1024个
2.如图，以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开，已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长为_______时，场地面积最大，最大面积是_________。(82年全国高考)
3.圆柱轴截面的周长L为定值，那么圆柱体积的最大值是_______。(93年全国高考)
A. ()π B. ()π C. ()π D. 2()π
4.在半径为30m的圆形广场中央上空，置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度应为_______。(精确到0.1m) (93年全国高考)
5.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，共有_______种承包方式。(86年全国高考)
【简解】1小题：答案B；
2小题：设长x，面积S＝x×≤()，答案：长为，最大面积；
3小题：V＝πr＝πr(－2r)≤π()，选A；
4小题：由＝tg60°得h＝10≈17.3；
5小题：CCC＝1680。
Ⅱ、示范性题组：
例1．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22％，人均粮食产量比现在提高10％，如果人口年增长率为1％，那么耕地每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ （96年全国高考）
（粮食单产＝ ； 人均粮食产量＝）
【分析】此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。
【解】1.读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P＝， 主要关系是：P≥P 。
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）。
∴ ≥（1＋0.1）
即 1.22（10－10x）≥1.1×10×（1＋0.01）
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）
【另解】1.读题：粮食总产量＝单产×耕地面积； 粮食总占有量＝人均占有量×总人口数；
而主要关系是： 粮食总产量≥粮食总占有量
2.建模：设耕地面积平均每年至多减少x公顷，现在粮食单产为a吨／公顷，现在人口数为m，则现在占有量为，10年后粮食单产为a(1＋0.22)，人口数为m(1＋0.01)，耕地面积为（10－10x）。
∴ a(1＋0.22)×(1O－10x)≥×(1＋0.1)×m(1＋0.01)
3.求解： x≤10－×10×（1＋0.01）
∵ （1＋0.01）＝1＋C×0.01＋C×0.01＋C×0.01＋…≈1.1046
∴ x≤10－995.9≈4（公顷）
4.评价：答案x≤4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无破，故可作答。（答略）
【注】本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题两种解法，虽都是建立不等式模型，但建立时所用的意义不同，这要求灵活掌握，还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。
在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少！它是解题者的自我调节，比如本题求解过程中若令1.01≈1,算得结果为x≤98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗？于是进行调控，检查发现是错在1.01的近似计算上。
例2．已知某市1990年底人口为100万，人均住房面积为5m，如果该市每年人口平均增长率为2％，每年平均新建住房面积为10万m，试求到2000年底该市人均住房面积（精确到0.01）？（91年上海高考）
【分析】城市每年人口数成等比数列，每年住房总面积成等比数列，分别写出2000年后的人口数、住房总面积，从而计算人均住房面积。
【解】1.读题：主要关系：人均住房面积＝
2.建模：2000年底人均住房面积为
3.求解：化简上式＝，
∵ 1.02＝1＋C×0.02＋C×0.02＋C×0.02＋…≈1.219
∴ 人均住房面积为≈4.92
4.评价：答案4.92符合城市实际情况，验算正确，所以到2000年底该市人均住房面积为4.92m。
【注】一般地，涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题，可通过观察、分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列，然后用两个基础数列的知识进行解答。此种题型属于应用问题中的数列模型。
例3．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米／时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v（千米／时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。
① 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数，并指出函数的定义域；
② 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ （97年全国高考）
【分析】几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联，抽象出其中的函数关系，并求函数的最小值。
【解】（读题）由主要关系：运输总成本＝每小时运输成本×时间，
（建模）有y＝(a＋bv)
（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米／时）的函数关系式是：y＝S(＋bv)，其中函数的定义域是v∈(0,c]。
整理函数有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，
由函数y＝x＋ (k>0)的单调性而得：
当
综上所述，为使全程成本y最小，当
A M C D B
例4．如图，假设河的一条岸边为直线MN，AC⊥MN于C，点B、D在MN上，现将货物从A地经陆地AD于水陆BD运往B地，已知AC＝10km，BC＝30km，又陆地单位距离的运价是水陆单位距离运价的2倍，为使运费最少，D点应选在距C点多远处？
【分析】设∠ADC＝α后，将AD、BC用α表示，进而将运费表示成α的函数是，再求运费最小值等。
【解】设∠ADC＝α，则AD＝，BD＝30－10ctgα，
设水路每km的运费为1，则运费y＝(30－10ctgα)＋2×
＝10(3－＋)＝10(3＋)
设t＝，即t×sinα＋cosα＝2,有sin(α＋θ)＝2,
∴≥2即t≥。
当t＝时，2－cosα＝sinα即sinα＋cosα＝1,
∴ sin(α＋30°)＝1,即α＝60°。
∴ CD＝10ctgα＝km
综上所述，D点应选在距C点km时运费最少。
【注】作为工具学科的三角，跨学科的应用是它的特点，不少物理学、工程测量、航海航空等应用题都可以转化为三角函数来解决，或者运用解三角形中的基本知识和手段进行解答，此种题型属于应用问题中的三角模型。
在解答应用问题中，最常见的是以上的几种模型，即：函数模型、不等式模型、数列模型、三角模型。此外，其它的几种应用问题模型有：与排列组合有关的应用问题，特征比较明显，属于排列组合模型，解答时一定要分清楚是分类还是分步，是排列还是组合，是否有重复和遗漏；与光学、力学、轨迹等有关方面的应用问题，可通过建立适当的坐标系，运用曲线的知识来建立数学模型来解答，且曲线研究主要是二次曲线，所以可称之为二次曲线模型。
Ⅲ、巩固性题组：
1.某商品降价10％后，欲恢复原价，则应提价为______。
A. 10％ B. 9％ C. 11％ D. 11％
2.某工厂去年12月的月厂值为a，已知月平均增长率为P，则今年12月厂值比去年同期增加的倍数是______。
A. (1＋P)－1 B. (1＋P) C. (1＋P) D. 12P
3.将一半径为R的木球加工成一正方形木块，则木块的最大体积为______。
A. R B. R C. R D. R
4.在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们分别在东经50°与140°的圈上，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离为______。
A. πR B. πR C. R D. πR
5.某种商品分两次提价，有三种提价方案，方案甲是：第一次提价p％，第二次提价q％；方案乙是：第一次提价q％，第二次提价p％；方案丙是：第一次提价％，第二次提价％，已知p>q>0，则上述三个方案中______。
A.方案甲提价最多 B.方案乙提价最多 C.方案丙提价最多 D.以上都不对
6.假设国家收购某种农产品的价格是120元／担，其中征税标准为每100元征8元（叫税率8个百分点，即8％），计划可收购m万担。为了减轻农民负担，决定把税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。 ① 写出税收y（万元）与x的函数关系式； ② 要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78％，试确定x的范围。
7.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元。购买当天先付150万元，以后每月的这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1％。若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应该付多少钱？全部货款付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
A O 水面
8.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA＝1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA的距离为1米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（97年上海高考）
9.电灯挂在圆桌的正中央上空，光学定律指出：桌边A处的照度I与射到点A的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，与点A到光源的距离的平方成反比。已知桌面半径r＝0.5米，当电灯离桌面1米时，桌边A处的照度为I。 ① 试把照度I表示为角θ的函数； ② 怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌边处最亮？
10.国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米、宽68米，足球门宽7.32米、高2.44米，试确定边锋最佳射门位置（边锋在足球场地长边上移动，最佳射门位置应使边锋看足球门的水平视角θ最大）。 （精确到1米）
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