矩阵范数的非诱导范数

有些矩阵范数不可以由向量范数来诱导，比如常用的Frobenius范数(也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数)：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。容易验证F-范数是相容的，但当min{m,n}>1时F-范数不能由向量范数诱导(||E11+E22||F=2>1)。可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数。例如定义　║x║=║X║，其中X=[x,x,…,x]是由x作为列的矩阵。由于向量的F-范数就是2-范数，所以F-范数和向量的2-范数相容。
另外还有以下结论：　║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F <= ║A║2 ║B║F
1、矩阵的谱半径和范数的关系
定义：A是n阶方阵，λi是其特征值，i=1,2,…,n。则称特征值的绝对值的最大值为A的谱半径，记为ρ(A)。　注意要将谱半径与谱范数(2-范数)区别开来，谱范数是指A的最大奇异值，即A^H*A最大特征值的算术平方根。谱半径是矩阵的函数，但不是矩阵范数。
2、谱半径和范数的关系是以下几个结论：
定理1：谱半径不大于矩阵范数，即ρ(A)≤║A║。
因为任一特征对λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。两边取范数并利用相容性即得结果。
定理2：对于任何方阵A以及任意正数e，存在一种矩阵范数使得║A║<ρ(A)+e。
定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。
利用上述性质可以推出以下两个常用的推论：
推论1：矩阵序列 I,A,A^2,…A^k,… 收敛于零的充要条件是ρ(A)<1。
推论2：级数 I+A+A^2+... 收敛到(I-A)^{-1}的充要条件是ρ(A)<1。