∫xe^x⼀√(1+e^x)dx

2x√(1 + e^x) - 4√(1 + e^x) + 2ln| [√(1 + e^x) + 1]/[√(1 + e^x) - 1] | + C

解题过程如下：

设t = √(1 + e^x),x = ln(t² - 1),dx = 2t/(t² - 1) dt

∫ xe^x/√(1 + e^x) dx

= ∫ [ln(t² - 1) * (t² - 1)/t] * 2t/(t² - 1) dt

= 2∫ ln(t² - 1) dt

= 2t ln(t² - 1) - 2∫ t d[ln(t² - 1)]

= 2t ln(t² - 1) - 2∫ t * 2t/(t² - 1) dt

= 2t ln(t² - 1) - 4∫ [(t² - 1) + 1]/(t² - 1) dt

= 2t ln(t² - 1) - 4∫ dt - 4∫ 1/(t² - 1) dt

= 2t ln(t² - 1) - 4t - 4(1/2)∫ [1/(t - 1) - 1/(t + 1)] dt

= 2t ln(t² - 1) - 4t - 2ln|t - 1| + 2ln|t + 1| + C

= 2x√(1 + e^x) - 4√(1 + e^x) + 2ln| [√(1 + e^x) + 1]/[√(1 + e^x) - 1] | + C

记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

扩展资料：

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

设t = √(1 + e^x)，x = ln(t² - 1)，dx = 2t/(t² - 1) dt
∫ xe^x/√(1 + e^x) dx
= ∫ [ln(t² - 1) * (t² - 1)/t] * 2t/(t² - 1) dt
= 2∫ ln(t² - 1) dt
= 2t ln(t² - 1) - 2∫ t d[ln(t² - 1)]
= 2t ln(t² - 1) - 2∫ t * 2t/(t² - 1) dt
= 2t ln(t² - 1) - 4∫ [(t² - 1) + 1]/(t² - 1) dt
= 2t ln(t² - 1) - 4∫ dt - 4∫ 1/(t² - 1) dt
= 2t ln(t² - 1) - 4t - 4(1/2)∫ [1/(t - 1) - 1/(t + 1)] dt
= 2t ln(t² - 1) - 4t - 2ln|t - 1| + 2ln|t + 1| + C
= 2x√(1 + e^x) - 4√(1 + e^x) + 2ln| [√(1 + e^x) + 1]/[√(1 + e^x) - 1] | + C